第七章典型作业题

7-10用细绝缘线弯成的半圆形环，半径为R，其上均匀地带正电荷Q，求圆心O点处的电场强度。解：如图所示，设0Q。在半圆形环上任取一电荷元ddql，在圆心处的电场强度的大小为201dd4lER方向如图所示。式中,ddQlRR由电荷的对称分布可知，圆心O点处的电场强度沿x轴正方向。有220001ddcos2cosd44xlEERR220022QRR7-12一半径为r的半球面均匀带电，电荷面密度为，求球心处的电场强度。解：如图所示，图中圆环对ox轴对称，所带电量为dd2sindqSrr，圆环半径为sinr，环心在x轴处。根据带电圆环轴线上的电场强度（见课本260页公式（7-11））3222014xqExR作相应的代换，cosxr，sinRr，222xRr，可得到细圆环在O点的电场强度为300cos2sind1d4sincosd2rrrEr通过积分，得到球心处的电场强度为2000dsincosd24EEE指向x正方向。7-17在半径分别为10cm和20cm的两层假想同心球面中间，均匀分布着电荷体密度为9310Cm的正电荷。求离球心5cm、15cm和50cm处的电场强度。解：以1R和2R分别表示均匀带电球壳的内、外半径。（1）设离球心10.05rm处的电场强度为1E，在以1r为半径的高斯球面1S上，1E的大小应该相同，并处处与1S的法线方向平行。对1S运用高斯定理，有110dd0SVES所以，离球心5cm处的电场强度10E。（2）以20.15rm为半径作高斯球面2S，设2S上各点的电场强度为2E，对2S运用高斯定理，有222220dd4SVESEr式中dV是2S所围的电荷量21233214d4d3rRVrrrR所以，离球心15cm处的电场强度2E的大小为332122024.03rREVmr2E的方向与2S的法线方向一致，即沿径向向外。（3）以30.50rm为半径作高斯球面3S，带电球壳在3S内，对3S运用高斯定理，有32333332100d4d43SVESErRR所以，离球心50cm处的电场强度3E的大小为332122021.053RREVmr3E的方向与3S的法线方向一致，即沿径向向外。7-18一个半径为R的球体内的电荷体密度为kr，式中r是径向距离，k是常量。求空间的电场强度分布，并画出E对r的关系曲线。解：（1）在球体内作半径为r的同心高斯球面1S，设1S上的电场强度为1E，对1S运用高斯定理，有12110dd4SVESEr式中dV是1S所围的电荷量23400d4d4drrVkrrrkrrkr所以，在球体内离球心r处的电场强度为21004rkrErerR（2）在球体外作半径为r的同心高斯球面2S，设2S上的电场强度为2E，对2S运用高斯定理，有22220dd4SVESEr2S包围了整个球体23400d4d4dRRVkrrrkrrkR所以，在球体外离球心r处的电场强度为41204rkRErerRr（3）Er关系曲线如图所示。7-21半径为R的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为，求电场强度分布，并作Er曲线。解：在圆柱体内，以r为半径作高为l的同轴闭合圆柱面1S，对1S运用高斯定理，有1201d2SESErlrl圆柱内，离轴线r处的电场强度大小为02rErR在圆柱体外，以r为半径作高为l的同轴闭合圆柱面2S，对2S运用高斯定理，有2201d2SESErlRl圆柱内，离轴线r处的电场强度大小为202RErRrEr曲线如图所示。0时，E的方向沿径向向外。7-26两个同心球面，半径分别为10cm和30cm。小球面均匀带有810C正电荷，大球面带有81.510C正电荷。求离球心分别为20cm和50cm处的电势。解法一：设两球面半径分别为1R、2R，带电1q、2q，由高斯定理可求得电场分布为01111220122220044ErRqERrRrqqErRr120rcm处的电势为2121121120120211dd44RrRqqqVErErrRR12010290044qqVrR150rcm处的电势为2122202d4504rqqVErVr解法二：由各球面电势的叠加计算电势120rcm，位于两球面之间，电势为小球面电荷在1r处的电势和大球面电势的代数和。即121010290044qqVVrR250rcm，位于两球面外，电势为两球面在2r处的电势。即122020245044qqVVrr7-27电荷Q均匀分布在半径为R的球体内，试证离球心r处rR的电势为223038QRrVR解法一：均匀带电球体的电场强度具有球对称性，设球体内和球体外的电场强度分别为1E和2E，由高斯定理201d4dSESErV可以求得1E和2E。式中334343RQQR球内的场强为103004QrEerRR球外的场强为20204QEerRr球体内r处的电势为11123200dddd44RRrRrRQrQVErErrrRr2222330003848QRrQRrQRRR解法二：以r为半径作球面，将带电球体分割为半径为r的球体和厚度为Rr的球壳两部分，则r处的电势为这两部分带电体的电势1V和2V的代数和，即12VVV。1V是半径为r的球体表面的电势，2313000144434qQrVrrrR这里334343RQQR2V是厚度为Rr带电球壳在其内表面的电势。由于带电球面内的电势与表面的相同，将球壳分割为无数厚度为dr的薄球壳，则r处在每个薄球壳的内部。每个薄球壳所带的电量为2d4dqrr电势为200ddd4qrVrr所以，22223003dd8RrQRrVVrrR222221233300033488QRrQrQVVVRrRRR直接计算332001444433qVRrRR这种做法是错误的!7-32一半径8Rcm的圆盘，其上均匀带有面密度为52210C/m的电荷，求：（1）轴线上任一点的电势表达式（用该点与盘心的距离x、圆环半径R及表示）；（2）从电场强度和电势的关系求该点的电场强度；（3）计算距离盘心6xcm处的电势和电场强度。（1221201085.8NmC）解（1）在圆盘上以盘心为圆心，取半径为r，宽为dr的细圆环，所带电荷量为2dqdSrdr在轴线上x处的电势为：222200d2dd44qrrVxrxr整个圆盘上x处的电势为2222000dd22RrrVVxRxxr（2）轴线上x处的电场强度为22012VxEiixxR（3）带入数据8Rcm，得6xcm处454.52104.5210VVEiVm7-36点电荷104.010qC，处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为12.0Rcm和23.0Rcm，求：（1）导体球壳的电势；（2）离球心1.0rcm处的电势；（3）把点电荷移开球心1.0cm后球心O点的电势及导体球壳的电势。解：利用高斯定理可以得到静电平衡时各区域的电场分布为11202123220404qErRrERrRqErRr（1）导体球壳的电势22232002dd12044RRRqqVErrVrR（2）离球心1.0rcm处的电势1212123dddRRrrRRVErErEr0121113004qVrRR（3）把点电荷移开球心1.0cm，仍然在导体球壳内部。导体球壳外表面的电荷分布没有变化，故球壳电势与第一问相同，仍为120V。球心O点处的电势由叠加原理得0121113004OqVVrRR