第七章图形的初步知识

-1-第七章图形的初步知识本章是第三学段“空间与图形”领域的起始章。在这一章中，将在前面两个学段学习“空间与图形”内容的基础上，让学生进一步欣赏丰富多彩的图形世界，看到更多的立体图形与平面图形，初步了解立体图形与平面图形之间的关系，并通过线段和角认识一些简单的图形，并能初步进行应用。本章的主要内容有几何图形、线段、射线和直线、角、相交线与平行线。这些内容在前两个学段学生已有接触，但还十分肤浅。本章不是对以前知识的简单复习，而是同类知识的螺旋上升。尽管本章内容仍是直观的、实验几何的内容，但要求已有所不同。例如，对几何图形的概念要求进一步认识；对几何图形怎样从实际中抽象出来要求更进一步体验；对图形不仅要求会认，还要求会表示，对线段、角还要求会画，对几何量还要求能进行简单的计算，并要求熟练更多的几何语言，这些都是进一步学习几何图形的必要条件。线段和角是两种最基本的图形，它们在周围随处可见，和人们的生活和生产实践密切相关。在今后的几何学习中几乎所有问题都会涉及线段和角，熟练掌握有关线段和角的知识和技能是学好几何的一个十分重要的起点。所以本章的教学重点是线段和角。与线段、角、直线的垂直和平行线的概念、表示法和性质随之而来的是几何语言，学生要正确应用几何语言来进行分析、判断和表述，需要一个较长的过程，是本章主要的教学难点。本章教学时间约需14课时，具体安排如下：7.1几何图形1课时7.2线段、射线和直线1课时7.3线段的长短比较2课时7.4角与角的度量1课时7.5角的大小比较1课时7.6余角和补角1课时7.7相交线2课时7.8平行线1课时复习、评估3课时，机动使用1课时，合计14课时。一、教科书内容和课程教学目标（1）本章知识结构框图如下：-2-（2）本章教学目标如下：目标类别目标层次知识点及相关技能知识技能目标过程性目标了解理解掌握灵活运用经历(感受)体验(体会)探索几何图形经历几何图形从实际情境中抽象出来的过程√√进一步认识点、线、面、体√√几何体与立体图形√√平面与平面图形√√线段、射线、直线进一步认识线段、射线和直线的概念√√线段的长短比较和简单计算√√线段的中点的概念√√用直尺和圆规画一条线段等于已知线段√√经过两点有且只有一条直线√√两点之间线段最短√√运用“两点确定一条直线”“两点之间线段最短”解决一些简单的实际问题√√物体点、线、面、体几何图形立体图形平面图形角射线线段直线角的画法角的平分线角的比较角的特殊关系概念与表示法概念与表示法线段的中点线段的作法与和差大小比较性质两点间的距离概念与表示法性质概念与表示法平行线相交线垂线画法概念与表示法性质点到直线的距离概念与表示法画法性质性质-3-角进一步认识角的有关概念√√角的表示法√√角的大小比较√√度、分、秒单位及其换算√√计算两个角的和差√√角平分线的概念√√补角和余角√√等角的余角相等，等角的补角相等√√角在解决实际问题中的一些简单应用√√相交线与平行线相交线的概念√√对顶角的概念√√对顶角相等√√垂线、垂线段的概念√√直线外一步与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短√√点到直线的距离的概念√√过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线√√用三角尺或量角器过一点画一条已知直线的垂线√√进一步认识平行线的概念√√过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线√√用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线√√垂线与平行线的简单实际应用√√（3）本章教学要求①观察生活中的几何体，进一步认识点、线、面和线段的度量。②通过丰富的实例，进一步认识角，会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行简单的换算。③了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。④了解垂线、平行线的概念，会用量角器、三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的垂线和平行线，知道这样的平行线和垂线只有一条。⑤了解垂线段的概念，体会点到直线的距离的意义，会度量点到直线的距离。⑥了解图形在现实生活中的应用。(四)本章教材分析1．本章的主要内容是图形的初步认识，教科书从学生生活周围熟悉的物体入手，使学生对物体形状的认识从感性逐步上升到抽象的几何图形。教师可以补充一些具体的事例，如点-4-动成线、线动成面、面动成体，形象地使学生初步认识立体图形和平面图形的联系。在此基础上，认识一些简单的平面图形——直线、射线、线段、角以及直线的两种最常见的位置关系——相交与平行。2．直线、射线、线段和角都是一些最简单的几何图形，比较复杂的图形都是由最简单的图形组成的，有关直线、射线、线段和角的要领和性质也是研究比较复杂的图形，如三角形、四边形等的必要基础，有关它们的画法、计算，也是有关复杂图形的画法、计算的基础。因此，教科书在7.1节“几何图形”之后，安排了7.2节“线段、射线和直线”与7.3节“线段的长度比较”，在前一学段学习直线、射线、线段知识的基础上，给出了它们的表示方法以及线段长度比较的内容，让学生通过探究，体验两点确定一条直线和两点之间线段最短的性质。接着，安排了7.4节“角与角的度量”、7.5节“角的大小比较”和7.6节“余角和补角”的内容，结合丰富的实例，进一步认识角、角的表示方法、角的度量、角的画法以及角的比较、补角和余角等内容。最后，安排了7.7节“相交线”和7.8节“平行线”的内容，通过角的关系以及具体的事例，介绍了相交线与平行线的有关知识，了解并掌握了经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线等性质。3．本章的学习要注意多从实物出发，让学生感受到图形世界无处不在，引起学生学习的兴趣。还可以结合一些具体问题，让学生感受学习空间与图形知识的重要性和必要性。对于一些抽象的概念、性质等，也要从解决实际问题引入，让学生在探索中真正理解这些性质。同时要注意概念的定义和性质的表述，逐步使学生懂得几何语句的意义并能建立几何语句与图形之间的联系。这些不仅是学习好本章的关键，对于学好以后各章也是很重要的。二、本章编写特点（一）充分利用现实世界中的实物原型进行教学，展示丰富多彩的几何世界人们生活在三维空间中，丰富多彩的图形世界给“空间与图形”的学习提供了大量现实有趣的素材。在本章内容的呈现中，充分体现从生活中的立体图形到平面图形，再到平面图形的基本元素——点、线、面，从而更好地“把握图形”。在本章教科书的许多地方，如第一节的几何图形，立体图形与平面图形的概念的引入，点、线、面、体关系的研究，直线、线段性质的引出，角的概念引入，直线的相交与平行的位置关系，以及想一想、课内练习、探究活动、作业题中都呈现了大量生活中的图形，在实际教学时还可以向学生展现更多他们熟悉的生活中的物体和图形，增加学生的直观感受，提高学习空间与图形知识的兴趣，从而更好地认识图形，了解图形。（二）强调学生的动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、想像、交流等活动中认识图形，树立空间观念学习方式的转变是课程改革的一个重要目标，与其他数学内容相比，“空间与图形”的教学更容易激起学生学习数学的热情。在本章的编写中，注意从学生已有的生活经验和已有的知识出发，给学生提供“现实的、有意义的、富有挑战性的”学习材料，提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在“做数学”的活动中，在自主探索的过程中获得知识和技能，-5-掌握基本的数学思想方法。在本章的教科书中，设置了许多“合作学习”“想一想”“探究活动”等栏目，如从一些图案中发现平面图形，通过观察思考生活中的现象得到关于直线、线段的性质，探索画一个角等于已知角的方法，探究用七巧板尽可能多地拼出表示人或物的图案，利用设计题所提供的背景，让学生用实物模型模拟各建筑物及拍摄者的位置，以帮助思考并分清6幅照片的拍摄顺序等等。通过这些“探究点”，鼓励学生勤思考、勤动手、多交流。其中，动手操作是学习开始阶段重要的一环，它可以帮助学生认识图形，丰富直观，验证学生的空间想象能力。开始阶段，应鼓励学生先动手、后思考，逐步过渡到先思考、后动手验证。（三）重视几何语言的培养和训练几何图形是“空间与图形”的研究对象，对它的一般描述是按“几何模型→图形→文字→符号”这种顺序进行的。其中，图形是将几何模型第一次抽象后的产物，也是形象、直观的语言；文字语言是对图形的描述、解释与讨论；符号语言则是对文字语言的简化和再次抽象。显然，首先建立的是图形语言，其次是文字语言，再次是符号语言，最后形成的应是对于对象的三种数学语言的综合描述，当三种语言达到融会贯通的程度时，就能基本把握对象了。在本章，特别注意“几何模型→图形→文字→符号”这个抽象的过程。首先，教科书强调实物原型的作用，引入了大量实物模型，让学生从中抽象出几何图形。其次，教科书重视图形语言的作用，对于对象的文字和符号描述，都是紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，在图形的基础上发展其他数学语言。例如，关于线段的比较、线段的和与差、线段的中点、角的比较、角的平分线等，都是先给出图形直观，再随着系数量，给出文字的描述，最后再给出符号的表示，使几种几何语言优势互补，以期收到更好的效果。除了重视“几何模型→图形→文字→符号”的转化过程，教科书还重视“符号→文字→图形”的转化，即理解符号或文字所表达的图形关系，并将它们用图形直观地表示出来，化“无形”为“有形”。本章注意了从不同方向对图形与文字、符号间转化的设计安排，安排了一些这样的课内练习、作业题等，教学中要重视这些方面的训练，使学生较快适应，能够把几何图形成语句表示、符号书写很好地联系起来。本章的教学应重视对学生几何语言的培养，尽管学生学会正确使用几何语言需要一个较长的过程，但一开始就应对学生提出要求，这对今后学习几何证明非常重要。正确的语言也能训练人的思维，教师应鼓励学生阅读课文，可以在作业中模仿教材中的表述，课堂提问时教师要及时芈学生的错误表述。三、教学建议（一）注意与前两个学段的衔接这一部分知识与前两个学段联系密切，大多数图形、概念在前两个学段都接触过，要衔接前两个学段，就要深入了解前面两个学段数学中“空间与图形”的内容、要求，了解它们与这一部分内容的联系与区别。-6-从《标准》看，与这一章的内容相对应，前面两个学段是要直观认识一些简单几何体和平面图形，能区分直线、射线、线段的概念并体会它们的一些性质，结合生活情境认识角，并知道周角、平角等概念。结合生活情境了解平面上两条直线的平行与相交（包括垂直）关系。在这一章，要通过丰富的实例，认识一些常见的几何图形，进一步认识点、线、面、体，在平面图形和立体图形相互转换的过程中，初步建立空间观念，发展几何直觉；进一步认识直线、射线、线段和角，理解它们的概念，了解有关的一些性质以及平行与相交（包括垂直）的位置关系，并能初步应用。了解了这些联系与区别，教学时便可以在学习知识的基础上，把前面两个学段学过的内容加深一步，同时避免完全的重复。（二）注重概念间的联系，在对比中加深理解本章是空间与图形的起始章，涉及的概念比较多，对大多数概念，前两个学段又都接触过。实际上，许多概念之间都有着密切的联系和区别，把握了这些联系和区别，就能更好地理解这些概念。例如，直线、射线、线段三个概念联系密切，它们都是直的，正因如此，在下面讲平行、垂直时，定义了直线与直线平行、垂直后，就不再定义直线与射线、线段的平行、垂直了；同时它们之间又有区别：端点个数不同，因而长度有有限与无限之分。研究线段的和、差、中点与研究角的和、差、角平分线，其内容方法都很相似，教学时把它们进行对比，效果会更好。例如：“点M到线段AB的中点”，可以写成AM=MB=21AB，在讲角平分线时，可以让学生仿照线段中点表示方法，写出OB是∠AOC的平分线的式子∠AOB=∠BOC=21∠AOC，从而使学生更容易理解和掌握。（三）把握好教学要求在本章，不仅要像第一、二学段那样进一步丰富学生对几何图形的感性认识，还要引导学生逐步认识一些基本图形的特征。这并不意味着要用严格的几何推理的方式来展开学习，而是要强调在实际背景中理解图形的概念和性质，经历探索图形性质的过程。例如“通过丰富的实例，进一步认识点、线、面、体”就是要求学生