第七章多元函数微分【高等数学】

第七章多元函数微分学一、内容分析与教学建议（一）本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。（二）多元函数、极限、连续先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并引入多元函数极限，讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点0PP方式的异同，可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则，运用连续性等。在理解极限概念之基础上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。（三）偏导数与全微分1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的计算中，注意讲清分段函数分界点处的偏导数。2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，并指出用定义判断),(yxfz可微，即求极限yyxzxyxzzyxyx),(),(lim00是否为0。3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式dyyzdxxzdz之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。（四）复合函数求偏导1、可先证明简单情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形),(vufz，)(xu，)(xv从中让学生理解口诀的含义。2、通过例题说明各种公式，具体方法及符号正确运用；3、通过教材中典型例题，细致讲解复合函数高阶偏导数的求法，这是个难点，并注意①求导时，注意分析函数的各种关系；②讲透符号1f，12f等之涵义。（五）隐函数求偏导1、结合简单例子，讲解方程与函数之关系；2、对于0),(yxF确定的隐函数存在定理，讲清三个条件和三个结论，再拓广介绍其它两种常见情形，其偏导数公式的证明，可只证部分结论；3、用例题说明隐函数求偏导数之三种方法，公式法、复合函数法（直接法）、微分法，要让学生理解三种方法中各种变量之相互关系。（六）方向导数与梯度从偏导数的概念拓广到方向导数概念，并指出与偏导数之关系，其次可通过具体应用实例引入梯度之概念，可画图指出梯度与方向导数之关系，此外，顺便介绍等高线、梯度场、势场等知识加深对梯度概论的理解。（七）多元函数微分学应用1、几何应用：（a）通过割线及到切线概念，从而得到切线方程；（b）曲面上任一点M处的任何曲线，若M处切线均在一个平面上，从而引入切平面与法线概念，并导出切平面与法线方程，举例说明它们的应用；（c）可让学生复习有关空间解析几何直线与平面有关内容。2、极值①与一元函数类比，讲述二元函数极值的必要和充分条件；②求极值问题一般分为两种情况：a无条件条件;b条件极值。从无条件极值到条件极值，自然地引入到“拉格朗日乘数法”，讲解时注意此方法的基本思想、方法及步骤，另外还可优化结合起来讲解。二、补充例题例1.设),(yxfu，0,,2zexy，xysin，其中都具有一阶连续偏导数，且0z，求dxdu.解：分别求偏导数得：)3(cos)2(02)1(321xdxdydxdzdxdyexdxdzfdxdyffdxdyyzyx(3)代入（2）3231cos2yexxdxdy(3)代入（1）3231cos2cosyyyxexxfxffdxdy2sin13cos2cosxexfxffxzyx例2.设),(yxz是由方程0),(yzxyf，确定的隐函数，其中f有二阶连续偏导数，求22xz.解：方程两边对x求偏导0)1(21xzyff，21fyfxz22222112121122)1()1(fyxzyfyfyffyxzyffxz代入上式并整理得：3222213211122222fyfffffffxz例3.设直线L：030yayxbyx在平面上，而平面与曲面22yxz相切于点)5.2,1(，求a，b的值.解：在点)5.2,1(处曲面法向量]1.4,2[n，于是切平面方程为：0)5()2(4)1(2zyx即0542zyx由L：)(3030bxaxzbxyyayxbyx053442abaxxbxx因而有：05a024abb5a2b例4.已知椭球面2222ayzxyzyx，)0(a，①求椭球面上z坐标为最大与最小点；②求椭球面的xOy面上投影区域的边界曲线.解：由于椭球面是一封闭曲面，因此椭球面上z坐标最大与最小点一定存在，且此二点处z值就是椭球面方程所确定隐函数),(yxzz的最大值与最小值.椭球面方程两边分别对x及y求偏导：022022zyzyxyzzyxzyyxzzx令0xz，0yz，0202zxyyx解得：xy2，xz3，代入椭球的方程得到bax故得两点bababaP3,2,1，bababaP3,2,2由于椭球面确定存在z坐标最大与最小的点，因此点1P与2P为所求.②设S是椭球面对于xOy面投影柱面S与椭球面切于曲线C，则C在上，两曲面的法向量相同都为yzzxyyxn2,2,2由kn，0kn，即02yz因此曲线C满足02222yyzayzxyzyx消去z即S的方程22243axyyx故投影区域的边界曲线为：043222zaxyyx例5.设生产某种产品必须投入两种要素1x和2x分别为两要素的投入量，Q为产出量，若生产函数为212xxQ，其中，为正常数1，假设两种要素的价格分别为1p，2p，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少要可以使得投入总费用最小？解：需要在产出量12221xx的条件下，求总费用2211xpxp的最小值，为此作拉格朗日函数)212()(21221121xxxpxpxxF，)3(122)2(02)1(02212122111121xxxxpFxxpFxx由（1），（2）得：2121xxpp故2121xppx，代入（3），2126ppx因此1216ppx由于此实际问题存在最小值，且驻点唯一，故当1216ppx，2126ppx时，投入总费用最少.例6.设xyxyfxz,3，其中f具有二阶连续偏导数，求yxz2，22yz.解：2214fxfxyz22yz222121211411fxfxxfxfxx221231152fxfxfxyxz22124fxfx22114fyfx例7.设)(xyy，)(xzz是由方程)(yxxfz和0),,(zyxF所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dxdz.解：分别在方程的两边对x求导得：01dxdzFdxdyFFfdxdyxfdxdzyyx即xyyFdxdzFdxdyFfxfdxdzdxdyf，zyxyFfxFFfxFfxfdxdz)(例8求下列极限①2201)ln(limyxexyyx②11lim00yxyxyx③yxxyxx211lim0④222limxyxyxxy解：①原式2lnlim)ln(lim220101yxexyxyyx②令tyx，当0x，00ty原式211lim11lim00ttttt③原式exyxxxyx211lim0④x，y，不妨设0x，0y，则21022yxxy得：2221022xxyxxy，由于xlim0212x所以原式0例9设，都是有连续的二阶偏导数axyaxydttaaxyaxyz)(21)()(21试求：22222yzaxz.解：)()(21)()(2axyaxyaxyaxyaxz22xz)()(2)()(22axyaxyaaxyaxya)()(21)()(21axyaxyaaxyaxyyz22yz)()(21)()(21axyaxyaaxyaxy022222yzaxz例10设函数),(yxfz在点)1,1(处可微，且1)1,1(f，2)1,1(xf，3)1,1(yf，)),(,()(xxfxfx，求13)(xxdxd.解：1)1,1())1,1(,1()1(fff1213)()(3)(xxdxxdxxdxd121212)),(),())(,(,()),(,()(3xxxfxxfxxfxfxxfxfx51)]32(32[13三、补充练习1、证明2222200)(limyxyxyxyx不存在.2、设vuez而22yxu，xyyxv22求xz，yz及dz.dyyzdxxzdzexyxyxyyzeyxyxyxxzxyyxxyyx222222442244223、设xyxyfxz2，其中f是具有二阶连续偏导数，求yxz2.223112213fyxfxyfxf4、设22yxfz，其中f是具有二阶连续偏导数，求22xz.2222242yxfxyxf5、设0xyzez，求yxz2.31zxyz6、设vexucos，veyusin，uvz求xz和yz.)cossin(),sincos(vuvveyzvuvvexzuu7、求曲面932222zyx上平行于平面01232zyx的切平面方程.)09232(zyx8、考察函数xyyxf),(在点)0,0(处是否连续？偏导数是否存在？是否可微？（连续，0)0,0(xf，0)0,0(yf，不可微）9、求函数22324yxyxxz的极值.()0,0(极大值点0)0,0(f)10、求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体.高宽长32a