第七章多元积分学

1第七章多元积分学一.二重积分的概念多元函数的积分学是一元函数积分学的推广.一元函数的积分学中，大家知道，引入定积分概念的基本思想方法可以概括成九个字：分割----代替-----求和-----取极限.如果把这种思想方法推广到多元函数中去，就得到重积分的概念.先两个经典的引例.引例1.求曲顶柱体的体积.问题：设yxfz,是定义在有界闭区域D上的非负连续函数.以D为底，以曲面yxfz,:为顶，侧面是以D的边界为准线，母线平行于Z轴的柱面的柱体.这个曲顶柱体如果用不等式来表示就是：.,,,:DyxyxfzV这里的V既表示这个曲顶柱体，同时也表示它的体积.现在的问题是：这个曲顶柱体的体积如何计算？分析一下求曲顶柱体的体积问题可以发现，这和求曲边梯形面积问题是类似的.解：一.分割：把D任意分成n个小区域1:,...,n.（分的方法不受限制）（如图）第i个小区域记为i（也表示第i个小区域的面积）（i=1,2,….）.分别以这些小区域的边界曲线为准线，作母线平行于Z轴的柱面.这些柱面就把原来的曲顶柱体分割成n个小曲顶柱体.每个小曲顶柱体的体积记为：niVi,...,2,1，显然有：.1niiVV二.代替：由于yxfz,连续，当i的直径很小时，对于同一个区域，yxfz,的变化也就很小，这时，我们可以近似地以“平”代“曲”，即以“不变”代“变”.在第i个小i上任取一点ii,，我们用iiif.,来近似代替第i个小曲顶柱体的体积iV，即：).,2,1(.,nifViiii.三.求和：曲顶柱体体积.,11niiiiniifVV四.取极限：为了得到精确值，无限细分，让每个小区域的直径都趋于零，或者令iinidd,max1为第i个小区域的直径.则.,lim10niiiifV引例2.求平面薄片的质量问题：设有一个薄片占有xoy平面上的区域D，它在点yx,处的面密度为0,yx且在D上连续.求薄片的质量.,lim10niiiiM由于许多几何问题与物理问题的解决，最后都归结为求这样一种和式的极限，因此，在数学上就把它加以抽象，撇开其几何与物理意义，对一个一般的二元函数yxfz,来讨论这种和式的极限，并把它叫二重积分.其一般定义是：二重积分的定义：（只读不写）设yxfz,是定义在平面有界闭区域D上的有界函数.将D任意分割成n个小闭区域.其中，第i个小区域记为nii,....,2,1，（i同时也表示第i个小区域的面积）.在第i个小i上任取一点ii,，作乘积).,2,1(.,nifiii,记iinidd,max1为第i个小区域的直径.如果无论对区域D如何划分，也无论iii,如何选取，niiiifI10,lim总存在且相等，则称此极限值为函数yxf,在区域D上的二重积分.记为：dyxfID,=.,lim10niiiif-----（*）注意：（1）（*）式中，yxf,叫作被积函数；d叫作面积元素；dyxf,叫做积分表达式；D叫积分区域.niiiif1,叫积分和式.（2）在二重积分的记号中，d象征着积分和式中的i.因为在二重积分的定义中，区域D的分法是任意的，所以，如果在直角坐标系中，用平行于坐标轴的直线段来划分区域D，那么除了包含边界曲线的一些小区域外，绝大多数小区域都是矩形.设矩形小区域i的边长为kjyx,，则.kjiyx.因此在直角坐标系中，面积元素d也常常记为：dxdyd，因此直角坐标系下dyxfD,又可记为：dxdyyxfD,.（3）二重积分的存在性：可以证明----当yxf,在有界闭区域D上连续时，则dyxfD,必存在.我们总假设yxf,在D上连续，所以，dyxfD,必存在，今后不再说明.（4）dyxfD,的几何意义：曲顶柱体的体积的代数和.（5）dyxfD,的物理意义：平面薄片的质量.二重积分的性质（请大家把这些性质与定积分的相关性质进行类比）1．.,,dyxfkdyxkfDD(k为常数).22．.,,,,dyxgdyxfdyxgyxfDDD3．.,,,2121dyxfdyxfdyxfDDDD4．(1DDdd为D之面积.）5．若在D上，yxgyxf,,，则.,,dyxgdyxfDD推论：.|,||,|dyxfdyxfDD6．（估值定理）设M和m分别是yxf,在D上的最大值与最小值，则.,MdyxfmD7．（积分中值定理）设yxf,在D上连续，为D之面积，则在D至少存在一点,，使.,,fdyxfD.例1．确定积分dyxyx1||||22ln的正、负号.解：由定义，0d，所以只须确定被积函数在积分区域1|||:|yxD上的符号即可.为此，先画出积分区域D的草图.（作图，D为正方形区域）.我们说：在区域D内任意一点都有.0ln,12222yxyx事实上，由于对于任意的,,Dyx有：1||||yx，（3）式两边同时积分，得：1||||2101||||22222yxyxyxyx.所以，dyxyx1||||22ln取负号.注意：其实，通过作图可显见.122yx例2．比较dyxD2与dyxD3的大小.其中，D是圆域.21222yx解：只须考察,1yx还是1yx？（作图即可显见1yx）由于对于任意的,,Dyx有：.21222yx---（4），所以，2212422122222yxyxyyxxx，故，.102232yxyxyxyx所以，dyxD2dyxD3.例3．估计dyxID10的大小.其中，.4:22yxD解：由性质6，问题的关键在于求被积函数10,yxyxf在闭区域.4:22yxD上的最值.1．因为.01,,01,yxfyxfyx，所以，yxf,在D内无驻点，也无不可偏导的点.因此，最值必在D的边界上达到.2．作拉格朗日函数410,22yxyxyxF，令.04,021,02122yxLyLxLyx解之，.2,2yx或.2,2yx.由于，.22102,2,22102,2ff，所以，.22102,2,22102,2fmfM3．由积分中值定理，知：.4221042210I例4.利用重积分的几何意义，判断下述结论是否正确？（1）:,03DydxD.0,122yyx.（2）:,21331DydDxydxD.0,0,122yxyx，D同上.3（3）:,121122221DdyxdyxDD.0,0,122yxyx，D同上.解：（1）对；（2）错；（3）对.注意：（6）关于重积分的对称性（i）如果积分区域D关于x轴（或y）轴对称，且被积函数yxf,关于y（或x）为奇，则dxdyyxfD,=0；（ii）如果积分区域D关于x轴（或y）轴对称，且被积函数yxf,关于y（或X）为偶，则.,2,1dyxfdxdyyxfDD（其中，1D为D的上（右）一半区域）.二重积分的计算二重积分的计算有两套系统，先讲（一）利用直角坐标计算二重积分根据我们上次课讲的二重积分的概念知道，二重积分dyxfD,是一种和式的极限，即：dyxfID,=.,lim10niiiif为了清楚起见，我先把这种计算方法写出来，然后，再加以几何解释.定理：设yxf,在D上连续，且D为所谓的X----型区域.,:21bxaxyxD则有：dyyxfdxdxdyyxfdyxfyxyxbabayxyxD,,,,2121,,,完全类似，设yxf,在D上连续，且D为所谓的Y----型区域.,:21dycyxyD，则有：dxyxfdydydxyxfdyxfyxyxdcdcyxyxD,,,,2121,,,使用公式时应注意的事项：（i）要注意两公式各自所适用的积分区域D的特点.（ii）如果积分区域D既是X---型区域，又是Y---型区域，理论上讲，两公式都可以用，但其实未必.大家以后可以看到：如果选择的两次积分的次序不合适，可能第一次积分积不出来；或者虽然第一次积分可做出来，但太过麻烦，使第二次积分很难继续进行.因此，要综合考虑被积函数和积分区域的因素，选择合适的积分次序.（iii）如果积分区域D既非X—型区域，又非Y---型区域，这时，需要将D分割成若干小的区域，使每一个小的区域或为X—型区域，或为Y---型区域.然后，在每一个小区域上分别积分.最后，原积分之值等于各小区域上积分之和.（iv）另外，如有可能，尽量使用对称性以简化运算.例5.计算dxdyyxD223，其中D是由x轴、y轴和抛物线21xy所围成的在第一象限内的区域.解一：画出积分区域的草图.（视D为X—型区域）.315161333210210103210221022|22dxxxdxyxdyyxdxdxdyyxxxD解二：画出积分区域的草图.（视D为Y—型区域）.31516133310210102310221022|dyyydyyxdxyxdydxdyyxyyD注意：此题虽然两公式都可行，但显然解（二）更简单.例6.计算Dxydxdy，其中D是由抛物线xy2及直线2xy所围成的区域.解一：画出积分区域的草图.（视D为Y—型区域）.8552212142212221221221|222dyyyydyxyxdxydydxxydydxdyxyyyyyyyD解二：画出积分区域的草图.因为D虽然是X----型区域，但由于在定限时，第一次积分的上、下限发生了一次改变，故不得已对D进行分块.（作图：用直线1x将D分成21DDD.12DDDxydxdyxydxdydxdyxy其中，.10,:1xxyxD，.41,2:2xxyxD于是，有.12DDDxydxdyxydxdydxdyxy4xxxxxydydxdyxydx24110.注意；由例2可见，对此题，虽然两种积分次序都可行，但第二种显然更麻烦.我们说有些时候，就不仅仅是麻烦的问题了，如果积分次序选得不合适，可能做不出来.请看下面的例7.求dxdyxxDsin，其中是由抛物线2xy及直线xy所围成的区域.解一：画出积分区域的草图.（视D为Y—型区域）yyyyDdxxxdydxxxdydxdyxxsinsinsin1010第一次积分就积不出来了.可见，这种次序行不通