第七章多自由度系统的复模态理论基础

第七章多自由度系统的复模态理论基础§7.1概述当多自由度系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵都是实对称正定阵，且满足下列条件之一：][]][[][]][[][]][[][]][[][]][[][]][[111111MKCCKMCMKKMCMCKKCM（7－1）则在系统的主模态空间中，系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵是完全解耦的。当结构的阻尼矩阵可以假设为比例阻尼或者满足上面的解耦条件时，可以采用实模态理论进行振动分析，即用实模态构成的模态坐标变换式对方程进行坐标变换，使方程解耦后，采用模态叠加法进行动力学响应计算。但是对于一般的线性阻尼系统，系统的振动方程无法用实模态矩阵进行解耦。要仿照结构的实模态分析理论对结构用模态叠加法进行分析，就必须采用所谓的复模态理论在复模态空间来对结构进行解耦。本章介绍一种状态空间的复模态理论。§7.2复模态的概念线性多自由度有阻尼系统的自由振动方程为：}0{}]{[}]{[}]{[xkxcxm（7－2）设其解为：tex}{}{（7－3）代入方程（7－2）得到：}0{})]{([}]){[][][(2Dkcm（7－4）矩阵)]([D称为系统的特征矩阵。方程（7－4）是一个“二次特征值”问题，要（7－4）式有非零解的充要条件为：0][][][)]([2kcmD（7－5）上方程是一个关于的n2次代数方程，有n2个特征根)2,2,1(nii，通常i都是复数，由于阻尼矩阵的正定性，而且由于质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵都是实数矩阵，i一定具有负的实部，且共轭成对出现。与复特征值对应的特征矢量也都是共轭复数形式。每一对共轭复数特征根，都对应着系统中具有的特定频率与衰减率的一种衰减振动。假定系统无重特征值，则系统的各个特征运动可以表示为：)2,2,1(}{)}({nretxtrrr（7－6）系统的n2个复模态——复特征矢量r}{，可以构成一个在系统位形空间的nn2阶的矩阵，称为复模态矩阵：]}{}{}{[][221n（7－7）由于系统在位形空间中的物理坐标只有n个，而复模态却有n2个，所以不能用（7－7）的复模态矩阵][对（7－1）中的}{x进行坐标变换，来对方程（7－1）进行解耦。为了解决这个困难，我们将（7－1）式转换到状态空间：)}({}]{[}]{[tFyKyM（7－8）其中：)}({}0{)}({}{}{}{tftFxxy（7－9）][]0[]0[][][][][][]0[][kmKcmmM（7－10）}{y称为系统的状态变量，系统在状态空间的自由振动方程为：}0{}]{[}]{[yKyM（7－11）设其特征解为：tety}{)}({（7－12）代入方程（7－11），得到：}0{}]){[][(KM（7－13）其特征方程为：0][][KM（7－14）将][],[KM的定义式代入：0][][][][][][]0[]0[][][][][]0[kcmmmkmcmm（7－15）即：0][][][][2kcmm（7－16）由于][m正定，所以有：0][][][2kcm（7－17）与（7－4）比较可知:（7－18）故（7－12）式可以写为：tety}{)}({（7－19）又因为：}{}{}{xxy（7－20）所以有：}{}{}{（7－21）即在状态空间中，对应于复特征根i的特征向量为：rrrr}{}{}{（7－22）它被定义为系统在状态空间中的第r阶复模态。§7.3复模态的正交性及其归一化对应于复特征对)}{,(),}{,(ssrr，系统的特征方程分别为：}0{}]{[}]{[rrrKM（7－23）}0{}]{[}]{[sssKM（7－24）用Ts}{左乘（7－23）式，并用Tr}{左乘（7－24）式并转置得到：0}]{[}{}]{[}{rTsrTsrKM（7－25）0}]{[}{}]{[}{rTsrTssKM（7－26）上两式相减得到：0}]{[}){(rTssrM（7－27）由此得到复模态}{对][M和][K的加权正交关系如下：0}]{[}{0}]{[}{rTsrTsKM当sr（7－28）当sr时，则有：rrTrrrTrKM~}]{[}{~}]{[}{（7－29）且有rrr~~（7－30）而：rTrrTrrrrrTrrrrTrcmcmmM}]{[}{}]{[}{2}{}{][][][]0[}{}{}]{[}{（7－31）令：1}]{[}{rNTrNM（7－32）并将（7－31）式做为复模态的归一化条件，rN}{为第r阶归一化复模态。显然，对于][K阵有：rrNTrNK}]{[}{（7－33）§7.4求解振动响应的复模态叠加法与实模态分析相同，利用系统在复模态空间中的复模态矩阵：n221}{}{}{][（7－34）对状态向量}{y进行模态坐标变换；}]{[}{zy（7－35）将（7－35）代入（7－8），并前乘T][得到n2个完全解耦的方程：)}(~{}]){~([}]){~([tFzKdiagzdiagr（7－36）其中，)}({][)}(~{]][[][]~[]][[][]~[tFtFKKdiagMdiagTTrTr（7－37）或写成：)2,2,1()(~~~nrtFzKzrrrrr（7－38）因为：rrrK~~（7－39）所以：)(~~1tFzzrrrrr（7－40）而：)}({}{)}({}0{]}{}{[)}({}{)(~tftftFtFTrTrTrrTrr（7－41）在零初始条件下，（7－40）的解为：defdetFzttTrrttrrrrr)(0)(0)}({}{~1)(~~1（7－42）因为：)}({}{}]{[)}(]{[}{}{}{tztzxxy（7－43）其中，][][rdiag所以：detfMdetfMzxttnrrTrrtnrtTrrrnrrrrr)(021)(21021)}({~}{}{))}({}{~1(}{}{}{（7－44）当激励力为复简谐力时，tjeftf}{)}({（7－45）则：)()(~}{}{}{21ttjnrrrTrrreejx（7－46）tre项代表随时间衰减的自由振动项，因此，如果只考虑稳态响应，则：tjnrrrTrrejx21)(~}{}{}{（7－47）