第54节幂级数

1第第第十十十九九九讲讲讲2微积分教学设计教学札记教学对象：财经类，管理类等专业教学内容：函数项级数及其收敛域，发散域，幂级数及其收敛半径6，收敛区间和和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质，幂级数的收敛区间及和函数的求法教学目的：掌握幂级数收敛半径和收敛区间的求法，了解幂级数在其收敛区间的基本性质，会求简单幂级数的和函数教学方法：利用多媒体进行启发式教学教学重点：幂级数收敛半径及收敛区间的求法教学难点：幂级数和函数的求法教学过程1.有关函数项级数的概念对于数项级数，它的每一项都是数，如果),(,),(),(21xuxuxun都是自变量x的函数，我们称如下的级数)()()()(211xuxuxuxunnn(1)为函数项级数(functionalseries).对任一给定的0x，就相应的有一个数项级数10)(nnxu，变动x就能得到许许多多的数项级数。凡是使10)(nnxu收敛的点0x，称为函数项级数1)(nnxu的收敛点，而使11)(nnxu发散的点1x称为1)(nnxu的发散点。所有收敛点的集合称为收敛域；而所有发散点的集合则称为发散域。例如，级数0nnx的收敛域为}1|||{xx，发散域则为}1|||{xx。对收敛域内的任意一个x，函数项级数1)(nnxu都有唯一确定的和)(xS，因此1)(nnxu是定义在收敛域上的一个函数，即有1)(nnxu)(xS，我们称)(xS为函数项级数1)(nnxu的和函数。2.幂级数的概念称形如nnxaxaxaa2210的无穷级数（其中,,,,10naaa，均为常数）为幂级数(powerseries)，并称na为幂级数的系数。教学心得33.幂级数收敛域及其求法对于一个幂级数，首要问题是确定它的收敛域。幂级数0nnnxa在0x处显然是收敛的。至于0x时有如下的结论：定理1如果幂级数0nnnxa在)0(00xxx时收敛，则对一切||||0xx的x幂级数绝对收敛，反之，若当0xx时0nnnxa发散，则对一切||||0xx的x幂级数发散。定理1揭示了幂级数收敛域的特定结构。如果幂级数0nnnxa在0xx处收敛，而在1x处发散，则必有||||10xx，因此应当存在非负常数Ｒ，满足||||10xRx使得当Rx||时，幂级数是收敛的，而当Rx||时，幂级数是发散的。我们称这样的非负常数Ｒ为幂级数0nnnxa的收敛半径。通常称开区间),(RR为幂级数0nnnxa的收敛区间(convergentinterval).一般我们用如下的方法来求幂级数的收敛半径Ｒ.定理2如果幂级数0nnnxa满足条件nnnaa1lim，则有（1）若0，则1R（2）若0，则R（3）若，则0R例6.4.1求幂级数1)1(nnnnx的收敛区间、收敛域。例6.4.2求幂级数01231nnnx的收敛域。例6.4.3求幂级数12)1(nnnnx的收敛域。4.幂级数的性质定理3（逐项微分定理）幂级数0nnnxa的和函数)(xS在收敛区间),(RR内部是可微函数，恒可以逐项微分，即有：110)()(nnnnnnxnaxadxdxSdxd而且逐项微分后，幂级数的收敛半径Ｒ不变，即级数11nnnxna与0nnnxa有相同的收敛半径Ｒ。教学札记教学心得4定理4（逐项积分定理）幂级数0nnnxa的和函数)(xS在收敛区间),(RR内部可以逐项积分，即有：100001)(nnnnxnnxxnadttadttS而且逐项积分后，幂级数的收敛半径Ｒ不变。定理5（Abel定理）如果幂级数0nnnxa的收敛域包含右(左)端点，则其和函数在右(左)端点是左(右)连续的。例4求幂级数111)1(nnnxn的收敛域及其在收敛区间内的和函数。例5求幂级数122212nnnxn的和函数并求级数1212nnn的和。例6求数项级数11121)1(nnn的和。5.作业教学札记教学心得