第七章常微分方程

1页第七章常微分方程§7.1一阶微分方程一、知识结构1、可分离变量的微分方程2、一阶线性微分方程二、考试大纲要求1、掌握可分离变量微分方程的解放。2、掌握一阶线性方程的解法。一、可分离变量的微分方程1、定义：设有一阶微分方程),(yxFdxdy,如果其右端函数能分解成(,)()()Fxyfxgy，即有)()(ygxfdxdy则称为可分离变量的微分方程，其中)(),(xgxf都是连续函数.讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1)y2xy是y1dy2xdx(2)3x25xy0是dy(3x25x)dx(3)(x2y2)dxxydy=0不是2、可分离变量的微分方程的解法第一步分离变量将方程写成g(y)dyf(x)dx的形式；第二步两端积分dxxfdyyg)()(设积分后得G(y)F(x)C；第三步求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y)G(y)F(x)Cy(x)或x(y)都是方程的通解其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解。例求微分方程xydxdy2的通解.解（1）分离变量得xdxydy22页（2）两端积分得xdxydy212||lnCxy从而2112xCCxeeey,记,1CeC则得到题设方程的通解.2xCey练求微分方程ydydxyxydydx2的通解.解先合并dx及dy的各项,得dxydyxy)1()1(2分离变量得dxxdyyy1112两端积分dxxdyyy1112得||ln|1|ln|1|ln2112Cxy于是2212)1(1xCy记,21CC则得到题设方程的通解.)1(122xCy（2006年试题）20：微分方程xy的通解为______________。解：分离变量：xdxdyxdxdy两边积分：xdxdy，所以：Cxy221（2008年试题）20：微分方程3y的通解为______________。解：分离变量：3dxdydxdy3两边积分：dxdy3，所以：Cxy3二、一阶线性微分方程1、定义（1）形如)()(xQyxPdxdy（1）的方程称为一阶线性微分方程.其中函数)(xP、)(xQ是某一区间I上的连续函数.（一阶是指方程中导数的最高阶是一阶，线性是指y和y的次数都是一次）（2）当,0)(xQ方程（1）成为3页0)(yxPdxdy（2）这个方程称为对应于非齐次线性方程)()(xQyxPdxdy的一阶齐次线性方程.相应地，方程（1）称为一阶非齐次线性方程.例：下列方程各是什么类型方程？(1)ydxdyx)2(021yxdxdy是齐次线性方程(2)3x25x5y0y3x25x是非齐次线性方程(3)yycosxesinx是非齐次线性方程(4)yxdxdy10不是线性方程（2005年试题）9：下列方程为一阶线性微分方程的是(C)A．xyy2)(2B．xyy22C．xyyD．xyy