第七章常微分方程数值解1

第七章常微分方程数值解本章介绍求解微分方程数值解的基本思想和方法.常微分方程含有自变量、未知函数和它的一阶导数和高阶导数的方程.它是描述运动、变化规律的重要数学方法之一，分为两类：1.初值问题，即给出未知函数及导数在初始点的值2.边值问题，即给出未知函数及（或）它的某些导数在区间两个端点的值常微分方程初值问题00(,),,||(),,yfxyaxbyyayyR其中f为,xy的已知函数，0y为给定的初值.这里仅讨论一阶标量微分方程初值问题的数值解法.而高阶微分方程通常可化为一阶微分方程组来研究.数值解法寻求微分方程初值问题之解()yx在一系列离散点012Naxxxxb上的近似值:,,,210yyyNy,的方法.ny:问题的数值解数值解所满足的离散方程统称为差分格式.步长：1iiihxx，一般取定步长ihh初值问题的适定性(其解是否唯一存在)记(带形)区域：[,]abR为G，即G=[,]abR.设:fGR为连续映射，若存在常数0L使得不等式1212|(,)(,)|||fxyfxyLyy对一切12(,),(,)xyxyG都成立，则称(,)fxy在G上关于y满足Lipschitz条件，而式中的常数L称为Lipschitz常数.定理初值问题00(,),,||(),,yfxyaxbyyayyR，当(,)fxy在G上连续，且关于y满足Lipschitz条件，则其解存在且唯一.§7.1Euler方法Euler公式将初值问题,,)(||,),,(00Ryyayybxayxfy的求解区间],[baN等分,分点:),,2,1,0(,Nnnhaxn,其中Nabh将),(yxfy写成等价的积分方程形式：hxxdyfxyhxy))(,()()(,在上式中令nxx，并用左矩形公式计算右端积分，得到nnnnnRxyxhfxyhxy))(,()()(,(*)1))(,())(,(nnxxnnnxyxhfdxxyxfR——余项将(*)中的余项nR截去，可得))(,()()(1nnnnxyxhfxyxy则有)(nxy的近似值ny的递推公式1,,1,0),,(1Nnyxhfyynnnn(*1)----------Euler公式nR表示当)(nnxyy为精确值时，利用(*1)即Euler公式计算)(1nxy时的误差.nnnyxy)(为Euler方法的局部截断误差.例1用Euler公式解初值问题1)0(10,2yxyxyy解：取1.0h，Euler公式的具体形式为)2(),(1nnnnnnnnyxyhyyxhfyy其中)10,,1,0,1.0nnnhxn(已知10y，则有1.11.01)2(00001yxyhyy191818.1)1.12.01.1(1.01.1)2(11112yxyhyy………依次计算可得109876543,,,,,,,yyyyyyyy其部分结果见下表nx数值解ny准确解)(nxy局部截断误差n1.00.80.60.40.21.7847701.6497831.5089661.3582131.1918181.7320511.6124521.4832401.3416411.1832160.0527190.0373310.0257260.0165720.008602可见Euler方法的计算结果精度不太高。Euler公式的几何意义:初值问题的解)(xy:从),(000yxP出发的一条曲线,过0P的切线方程:))(,())((0000000xxyxfyxxxyyy,与直线hxxx01交点的纵坐标),(0001yxhfyy,正好为Euler公式求出的1y;同理,过点),(111yxP且斜率为),(11yxf的直线))(,(1111xxyxfyy与直线hxxx12交点的纵坐标),(1112yxhfyy,正好为Euler公式求出的2y;…,可得一条折线3210PPPP,Euler公式就是用这条折线来近似代替解曲线)(xy.故,Euler方法也称折线法.隐式(后退的)Euler公式对hxxdyfxyhxy))(,()()(令nxx，并用右矩形公式计算右端积分，类似可得递推公式：),(111nnnnyxhfyy,(*2)1))(,())(,(11nnxxnnnxyxhfdxxyxfR(*2)式称为隐式(后退的)Euler公式nR表示当)(nnxyy为精确值时，利用(*2)即后退的Euler公式计算)(1nxy时的误差.nnnyxy)(为后退的Euler方法的局部截断误差.方法的阶1.def:若局部截断误差（将准确解)(xy代入公式的左、右两端，其左端与右端之差）)()(1pnnnhOyxy，则称该数值方法具有p阶精度。p越大，精度越高，数值方法越好。2.Euler方法的精度))](,()([)()(111nnnnnnnxyxhfxyhxyyxy其中：)())(,(nnnxyxyxf将)(hxyn在点nx处一阶Taylor展开)()()(),(!2)()()()(212hOxyhxyxxhfxyhxyhxynnnnnnn,)()]()([)()()(221hOxyhxyhOxyhxynnnnnEuler方法具有一阶精度。3.后退的Euler方法的精度同理))](,()([)()(11111nnnnnnnxyxhfxyhxyyxy将)(nxy在点1nx处一阶Taylor展开),()()()(!2)()()()()(12112111nnnnnnnnxxhOxyhxyhfxyhxyhxyxy,,)()}()]()()({[)(2121111hOxyhhOxyhxyxynnnnn后退的Euler方法也是具有一阶精度改进的Euler方法对hxxdyfxyhxy))(,()()(令nxx，并用梯形公式计算右端积分，类似可得递推公式：,2/)],(),([111nnnnnnyxfyxfhyy(*3)(*3)式称为梯形（平均）公式其局部截断误差为}2/))](,())(,([)({)(1111nnnnnnnxyxfxyxfhxyxy将)(1nxy及)(1nxy均在点nx处二阶Taylor展开)()(2)()()(321hOxyhxyhxyxynnnn)()(2)()()(321hOxyhxyhxyxynnnn)(31hOn这种方法具有二阶精度平均（梯形）公式为隐式公式，一般用迭代法求解，迭代初值由Euler公式提供，只迭代一次即得如下预测－校正型公式,,,)]()([2)(1111nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy校正预测或,,2/)()()(11cpnpnncnnnpyyyyxhfyyyxhfyy称上式为改进的Euler公式可以证明，改进的Euler公式具有二阶精度。例2用改进的Euler公式解初值问题1)0(10,2yxyxyy解：取1.0h，改进的Euler公式的具体格式为,,)(21)2(1.0)()2(1.0)(111cpnpnpnpnncnnnnnnnpyyyyxyyyxhfyyyxyyyxhfyy具体计算过程如下①095909.1)091818.11.1(21)(21091818.1)1.12.01.1(1.01)2(1.01.1)01(1.01)2(1.01100000yyyyxyyyyxyyycpppcp②184096.1)(21180942.1)2(1.0187250.1)2(1.02211111cpppcpyyyyxyyyyxyyy………依次计算可得109876543,,,,,,,yyyyyyyy其部分结果见下表nx数值解ny准确解)(nxy局部截断误差n1.00.80.60.40.21.7378691.6164761.4859561.3333601.1840961.7320511.6124521.4832401.3416411.1832160.0058180.0040240.0027160.0017190.000088可见改进的Euler方法的计算结果精度比Euler方法要高。作业P185习题七1.(1),(2);2.(1),(2)