第24章(课)第2节垂直于弦的直径第1课时总第2个教案

第24章（课）第2节垂直于弦的直径第1课时总第2个教案学习目标１．使学生理解圆的轴对称性．２．掌握垂径定理．３．学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题．4.让学生亲身经历知识的探求过程，体验数学的生活性、趣味性，更进一步感受圆的美，激发他们的学习兴趣．5.通过旋转、折叠、交流等操作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，培养学生的探索能力和简单的逻辑推理能力．学习重点垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用．学习难点1．垂径定理──垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧2．圆的对称性及其产物．教具学具小黑板、实物投影、PPT等。本节课预习作业题预习书P80_82有关内容,完成以下练习:1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？2．请同学按下面要求完成下题：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．BACDOM3．垂直于弦的直径弦，并且弦所对的两条弧。4．平分弦（不是直径）的直径于弦，并且弦所对的两条弧。5．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（）．A．CE=DEB．BCBDC．∠BAC=∠BADD．ACAD2BACEDOBAOMBACDPO(1)(2)(3)6．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4B．6C．7D．87．如图3，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）A．AB⊥CDB．ACBCC．ADBDD．PO=PD教学设计：教学环节教学活动过程思考与调整活动内容师生行为预习交流（一）学生围绕教材内容和预习作业题自学3~5分钟。分6个学习小组进行讨论交流：要求：1、掌握垂径定理;运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题．(二)创设情景，谈话导入问题：你知道赵州桥吗？它是１３００多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为３７.4m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？如图所示，若在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，比较AP与PB，AC与BC，你能发现什么结论呢？二、精讲点拨，质疑问难(三)精讲点拨，质疑问难1.圆的对称性1、教师课前检查了解学生完成预习作业情况。2、教师布置学生自学，明确内容和要求，进行方法指导。3、生生互动，质疑答疑。通过再次预习和讨论交流，学生基本掌握所布置三个的要求和目标。4、对第5题中四个问题进行解题3①圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆有无数条对称轴。②圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。③圆还有旋转不变性。2、利用圆的对称性，你必然会得出以下结论：AP=PB，ACBC；ADBD．这就是垂径定理．它用文字语言可表述为：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧．其实垂径定理的逆命题也是成立的：（1）平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的两条弧的直径，垂直平分弦；（3）弦的垂直平分线，必过圆心且平分弦所对的两条弧．（四）教师精解点拨预习作业：（或根据生生互动交流情况灵活处理）方法指导。展示探究例1．如图，已知在⊙O中，AB、CD两弦互相垂直于E，AB被分成4cm和10cm两段，(1)求圆心O到CD的距离；(2)若⊙O半径为8cm，求CD的长是多少?剖析：作OG⊥CD于G，求O到CD的距离，就是求OG的长，由于已知AE、BE的长，所以要把OG转移到AB上，结合图形知过O作OF⊥AB于F即可．由垂径定理知AF＝FB＝21(4cm＋10cm)＝7cm，进而求得OG的长，要求弦CD的长，由(1)OG的长已求出，又知⊙O的半径，连结OD，由勾股定理可求DG的长，再由垂径定理可求得CD的长．1、教师布置学生先自己独立完成例1、例2两道题，再小组间交流讨论，全班展示，同学纠错，教师总结。展示形式可学生口述，可上黑板，可实物投影或PPT演示等。2、小组合作探究例题3，然后小组展示交流，必要时教师进行点拨：4CEDOF解：(1)作OG⊥CD于G，OF⊥AB于F∵∠OGE＝∠GEF＝∠OFE＝90°∴四边形OGEF是矩形．∴OG＝EF∵OF⊥AB，∴AF＝21AB＝21(4＋10)＝7(cm)∴OG＝EF＝AF－AE＝3(cm)∴O到CD的距离是3cm．(2)连结OD，在Rt△ODG中，OD＝8cm，OG＝3cm由勾股定理，知GD＝22OGOD＝55cm．∵OG⊥CD，∴CD＝2GD＝255cm．说明：在圆中有关弦长、弦心距、半径的计算问题，都是利用垂径定理，通过作出弦心距、半径得到一个直角三角形，这个直角三角形的斜边是半径，两直角边分别是弦的一半和弦心距，利用勾股定理解之，这是圆中分析这类问题的一种常用思路．。例2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD，点O是CD的圆心，其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．解：如图，连接OC设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m∵OE⊥CD∴CF=12CD=12×600=300（m）根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2即R2=3002+（R-90）2解得R=545∴这段弯路的半径为545m．例3．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R．先让学生思考从条件特点入手，找出∠EAB所在的Rt△ABE，找出大圆半径、小圆半径、正方形边长之间的关系。5BACEDONM解：不需要采取紧急措施设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18R2=302+（R-18）2R2=900+R2-36R+324解得R=34（m）连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16342=162+（34-x）2162+342-68x+x2=342x2-68x+256=0解得x1=4，x2=64（不合设）∴DE=4∴不需采取紧急措施．例4、如图，在⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，且∠DEB=60°，求CD的长。例5、已知AB、CD为⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为5cm,AB=8cm，CD=6cm。求AB、CD的距离。丨例6、已知：⊿ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长。6检测反馈当堂检测题：1、判断题：①同一个圆的直径的长是半径的2倍．（）②直径是最长的弦．最长的弦是直径。（）③半圆所对的弦是直径，直径所对的弧是半圆。（）④过圆心的线段是直径．（）⑤圆心相同的圆叫做同圆。（）⑥长度相等的两条弧是等弧。（）2、选择题：①如图：点A、O、D以及B、O、C分别在一条直线上。则圆中弦的条数为（）A、2B、3C、4D、5②已知：⊙O的半径为3，A为线段PO的中点。则当OP=6时，点A与⊙O的位置关系为（）A、点在圆内B、点在圆上C、点在圆外D、不能确定3、填空：①弧分为、和。②菱形四边的中点到的距离相等，因此菱形各边的中点在以为圆心，以为半径的圆上。4.点P到圆上的最大距离为20cm,最小距离为10cm,求⊙O的半径，并说明如何找到最大距离和最小距离。5.如图：在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD，求证：OCD是等腰三角形。1、教师布置检测题，巡回查看学生答题情况，当堂批阅，统计差错及目标达成率。2、教师重点讲评第4,5题，第1、2题教师报出答案后让学生自行纠正。7课堂评价小结1、对本节课的知识内容进行总结。本节课应掌握：(1).圆的有关概念；(2).圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．(3).垂径定理及其推论以及它们的应用．课后作业(配套练习)一．选择题1．下列说法：①圆的对称轴是一条直径；②经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；③与半径垂直的直线是圆的对称轴；④垂直于弦的直线是圆的对称轴，其中正确的有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为E，则下面结论中错误的是（）．A．CE＝DEB．＝C．∠BAC＝∠BADD．AC＞AD3．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP∶PB＝1∶5，那么⊙O的半径是（）．A．6cmB．53cmC．8cmD．35cm4．圆的半径为2cm，圆中的一条弦的长为32cm，则此弦的中点到所对优弧中点的距离是（）．A．1cmB．3cmC．3cmD．32cm二．填空题5．⊙O的半径为12cm，弦AB为8cm，则圆心到弦的距离是________．6．⊙O的半径为10cm，弦AB垂直平分半径OC于D，则AB＝_______，∠AOB＝_____．7．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，若AD＝5cm，AB＝8cm，则⊙O的半径是________．88．⊙O半径为5cm，AB和CD是两条弦，且AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，则AB和CD的距离为．三．解答题9．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且圆心O到AB的距离OE＝5cm，大圆半径OA＝13cm，小圆半径为41cm，求CD、AC的长．10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以点C为圆心，CA长为半径作圆交斜边AB于D，求AD和BD的长．11．如图，在⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，且AE＝4cm，BE＝6cm，CE＝3cm，DE＝8cm，求⊙O的半径．12．如图，某城市住宅社区，在相邻两楼之间修建一个上面是半圆，下面是矩形的仿古通道，其中半圆拱的圆心距地面2m，半径为2m，现有一辆高3.3m，宽2.8m的送家具的卡车，问这辆卡车能否通过通道，请说明理由．9答案：1.A2.D3.B4.C5．cm286．cm310，1207．6258.1cm或7cm9．8cm，8cm10．cm518，cm5711.．cm25512．能通过（提示：设半圆直径为AB，圆心为O，在OA上截取OD＝1.4cm，过点D作DC⊥AB，交半圆于C，勾股定理求出CD的长为551＞1.4，这样1.4＋2＞3.3）补充练习：1．如图1，AB为⊙O直径，E是BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____．BACEDOBACEDOF(1)(2)2．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______．3．如图2，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）4．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．BACEDO5．如图7—38，在⊙O中，AB＝CD，AB⊥CD，垂足为G，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．10(1)求证：四边形OEGF是正方形．(2)连结OG、OB，若OB＝5cm，OG＝32cm，求AB的长．6．某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7．2m,拱顶高出水面2．4m,现有一艘宽3m,船舱顶部为长方形并且高出水面2m的货船要经过这里，问此货船能否顺利通过这座拱桥？请说明理由．预习作业一、选择题．1．如果两个圆心角相等，那