第七章空间解析几何

第七章空间解析几何第一节空间直角坐标系一、空间直角坐标系1、空间直角坐标系间取定一点O和三个互相垂直且正向符合右手规则的单位向量kji,,,它们确定了三条互相垂直的数轴,称这三条数轴构成一个空间直角坐标系,记作Oxyz或],,;[kjiO.2、标原点：定点O.3、坐标轴：即三条数轴.kji,,确定的坐标轴依次称为：横轴:x轴；纵轴:y轴；竖轴:z轴.4、坐标轴平面：三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面．分别称为：xOy面；yOz面；zOx面.(5)八个挂限：三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做挂限.如图依次分别称为：第一挂限、第二挂限、……、第八挂限.依次分别用Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ及Ⅷ表示.图形with(plots):x:=a-0.05*sin(s)*cos(t)+a:y:=b-0.05*sin(s)*sin(t)+b:z:=c-0.05*cos(s)+c:XOY:=plot3d([s,t,0],s=-1..1,t=-1..1):YOZ:=plot3d([0,s,t],s=-1..1,t=-1..1):ZOX:=plot3d([s,0,t],s=-1..1,t=-1..1):A:=plot3d([x(0.5),y(0.5),z(0.5)],t=0..2*Pi,s=0..Pi,style=patch):display({XOY,YOZ,ZOX,A},style=patch);Oxyz定点竖轴纵轴横轴ikj面xOy面yOzzOx面OxyzⅠⅡⅣⅢⅤⅥⅦⅧ二、空间点的坐标1、点M(在坐标系Oxyz中)的坐标),,(zyxM注意：特殊点的表示.2、空间两点间的距离),,(1111zyxM与),,(2222zyxM为空间中的两个点,则两点间的距离为：||21MM212212212)()()(zzyyxx.第二节曲面及其方程一、旋转曲面1、球面2202020Rzzyyxx图形with(plots):x:=sin(s)*cos(t):y:=sin(s)*sin(t):z:=cos(s):plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,s=0..Pi,style=patch);2、圆锥面)(2222yxaz.图形x:=1/2*u*cos(t):y:=1/2*u*sin(t):z:=u:plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=-1..1,axes=BOXED,scaling=CONSTRAINED,style=patch);3、旋转双曲面(1)旋转双叶双曲面：将xOz坐标面上的双曲线12222czax绕x轴旋转一周,所生成的旋转曲面122222czyax.图形with(plots):x:=4*cosh(u):y:=2*sinh(u)*cos(t):z:=2*sinh(u)*sin(t):F:=plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=-2..2):)0,0,0(OxyzM)0,0,(xP),0,0(zR),,0(zyQ)0,,(yxA),,0(zyB),0,(zxCOyxzG:=plot3d([-x,y,z],t=0..2*Pi,u=-2..2):display({F,G},axes=BOXED,scaling=CONSTRAINED,style=patch);(2)旋转单叶双曲面：将xOz坐标面上的双曲线12222czax绕z轴旋转一周,所生成的旋转曲面122222czayx.图形x:=4*cosh(u)*cos(t):y:=4*cosh(u)*sin(t):z:=2*sinh(u):plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=-1..1,axes=BOXED,scaling=CONSTRAINED,style=patch);4、旋转抛物面：将xOz坐标面上的抛物线22axz绕z轴旋转一周，所生成的旋转曲面222ayxz即2222ayaxz.图形x:=1/4*u*cos(t):y:=1/4*u*sin(t):z:=u^2:plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=0..4,axes=BOXED,scaling=CONSTRAINED,style=patch);二、柱面1、常见的柱面(1)圆柱面：222Ryx.图形plot3d([4*cos(t),4*sin(t),z],t=0..2*Pi,z=-6..6,style=patch);(2)抛物柱面：xy22.图形plot3d([y^2/2,y,z],y=-3..3,z=-3..3,style=patch);(3)平面：0yx.图形plot3d([x,x,z],y=-3..3,z=-3..3,style=patch);2、平行于坐标轴的柱面(1)平行于z轴的柱面：0),(yxF.Olyxz0),(yxFMCS(2)平行于y轴的柱面：0),(xzG.(3)平行于x轴的柱面：0),(zyH.三、二次曲面1、二次曲面：三元二次方程0),,(zyxF所表示的曲面称为二次曲面.注：平面被称为一次曲面.2、常见二次曲面(1)椭圆锥面22222:zbyaxS.图形x:=1/4*u*cos(t):y:=1/3*u*sin(t):z:=u:plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=-1..1,style=patch);(2)椭球面1:222222czbyaxS.图形x:=4*sin(u)*cos(t):y:=3*sin(u)*sin(t):z:=2*cos(u):plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=0..Pi,style=patch);图形x:=4*sin(u)*cos(t):y:=3*sin(u)*sin(t):z:=2*cos(u):plot3d([x,`if`(y2,2,3*sin(u)*sin(t)),z],t=0..2*Pi,u=0..Pi,style=patch);(3)单叶双曲面1:222222czbyaxS.图形x:=4*cosh(u)*cos(t):y:=3*cosh(u)*sin(t):z:=2*sinh(u):plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=-1..1,style=patch);(4)双叶双曲面1:222222czbyaxS.图形with(plots):x:=4*sinh(u)*cos(t):z:=3*sinh(u)*sin(t):y:=2*cosh(u):F:=plot3d([x,-y,z],t=0..2*Pi,u=-2..0):G:=plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=0..2):display({F,G},style=patch);(5)椭圆抛物面zbyaxS2222:.图形x:=4*u*cos(t):y:=3*u*sin(t):z:=u^2:plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=0..2,style=patch);(6)双曲抛物面(马鞍面)zbyaxS2222:.图形x:=4*t:y:=3*u:z:=t^2-u^2:plot3d([x,y,z],t=-4..4,u=-(15+t^2)^(1/2)..(15+t^2)^(1/2),style=patch,view=-15..7);(7)椭圆柱面1:2222byaxS.图形x:=4*cos(t):y:=3*sin(t):plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,z=-4..4,style=patch);(8)双曲柱面1:2222byaxS.图形with(plots):x:=4*sec(t):y:=3*tan(t):F:=plot3d([x,y,z],t=-Pi/4..Pi/4,z=-4..4):G:=plot3d([-x,y,z],t=-Pi/4..Pi/4,z=-4..4):display({F,G},style=patch);(9)抛物面柱面ayxS2:.图形plot3d([x,2*x^2,z],x=-1..1,z=-1..1,style=patch);第三节空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程1、空间曲线：空间曲线C是两个空间曲面21,SS的交线.2、空间曲线C的一般方程yOxzC1S2S.0),,(,0),,(zyxGzyxF例1方程组632122zxyx表示怎样的曲线？图形with(plots):F:=plot3d([cos(t),sin(t),u*(6-2*cos(t))/3],t=0..2*Pi,u=0..1):G:=plot3d([u*cos(t),u*sin(t),(6-2*u*cos(t))/3],t=-0..2*Pi,u=0..1):display({F,G},style=patch);解：由于122yx表示圆柱面,而632zx表示平面,因此,交线为椭圆.图形with(plots):tubeplot([cos(t),sin(t),(6-2*cos(t))/3],t=0..2*Pi,radius=0,grid=[150,2],style=patch);例2方程组4)2(222222ayaxyxaz表示怎样的曲线？图形with(plots):x:=sin(u)*cos(t):y:=sin(u)*sin(t):z:=cos(u):F:=plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=0..Pi/2):G:=plot3d([1/2+1/2*cos(t),1/2*sin(t),v],t=0..2*Pi,v=0..1):display({F,G},grid=[25,20],axes=BOXED,scaling=CONSTRAINED,style=patch);解：由于222yxaz表示上半球面,而4)2(222ayax表示圆柱面,因此交线如图.图形with(plots):x:=1/2+1/2*cos(t):y:=1/2*sin(t):z:=(1-x^2-y^2)^(1/2):tubeplot([x,y,z],t=0..2*Pi,radius=0,grid=[150,2],view=[-1..1,-1..1,0..1],scaling=CONSTRAINED,axes=BOXED,style=patch);二、空间曲线的参数方程1、曲线C的参数方程：).(),(),(tzztyytxx2、说明：当给定1tt时，就得到曲线上的一个点),,(111zyx，随着参数的变化可得到曲线上的全部点.三、空间曲线在坐标面上的投影1、投影柱面设空间曲线C的一般方程为：.0),,(,0),,(zyxGzyxF消去变量z后得曲线关于xOy的投影柱面：0),(yxH.2、投影曲线投影柱面与xOy面的交线：.0,0),(zyxH3、类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影.0,0),(xzyR.0,0),(yzxT例4已知两球面的交线C的方程为.1)1()1(,1222222zyxzyx)()(求C在xOy面上的投影方程.图形with(plots):x:=sin(u)*cos(t):y:=sin(u)*sin(t):z:=cos(u):F:=plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=0..Pi):G:=plot3d([x,y+1,z+1],t=0..2*Pi,u=0..Pi):display({F,G},grid=[50,20],style=patch);yxzOyxzO解：由)(得11212222zzyyx,再减去)(得0222zy,或yz1.将yz1代入)(后得1)1(222yyx,化简后得曲线C关于xOy的投影柱面方程0