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1第七章第二节空间几何表面积和体积题组一多面体的表面积1.侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是()A.3＋34a2B.34a2C.3＋32a2D.6＋34a2解析：设正三棱锥的侧棱长为b，则由条件知b2＝12a2，∴S表＝34a2＋3×12×12a2＝3＋34a2.答案：A2．(2010·珠海模拟)已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是()A．4＋2B．2＋2C．3＋2D．6解析：由三视图可知此几何体为一底面为等腰直角三角形的直三棱柱．S表＝S侧＋2S底＝(1＋1＋2)×1＋2×12×1×1＝3＋2.答案：C题组二多面体的体积3.长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是()A．63B．36C．11D．12解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有ab＝2，bc＝6，ac＝9，∴V＝a2b2c2＝2×6×9＝63.答案：A4．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32π3，则这个三棱柱的体积是()A．963B．163C．243D．4832解析：由43πR3＝32π3，∴R＝2.∴正三棱柱的高h＝4.设其底面边长为a，则13·32a＝2，∴a＝43.∴V＝34(43)2·4＝483.答案：D5．(2009·浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3.解析：由三视图可知此几何体是由两块长、宽均为3cm，高为1cm的长方体构成，故其体积为2(3×3×1)＝18(cm3)．答案：18题组三旋转体的表面积、体积6.(2009·全国卷Ⅱ)设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于7π4，则球O的表面积等于________．解析：设圆C的半径为r，有πr2＝7π4.得r2＝74.又设球的半径为R，如图所示，有|OB|＝R，|OC|＝R2·22＝24R，|CB|＝r.在Rt△OCB中，有|OB|2＝|OC|2＋|CB|2，即R2＝18R2＋r2⇒78R2＝74，∴R2＝2，∴S球＝4πR2＝8π.答案：8π7．(2009·江西高考)体积为8的一个正方体，其表面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于________．解析：设正方体棱长为a，则a3＝8，∴a＝2.3∵S正方体＝S球，∴6×22＝4πR2，∴R＝6π.V球＝43πR3＝43π(6π)3＝86ππ.答案：86ππ题组四空间几何体的体积表面积的综合8.(2010·含山模拟)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6cm2、4cm2、3cm2，那么它的外接球体积是________．解析：依题意，设这个三棱锥的侧棱分别为a、b、c，则有ab＝12cm2，bc＝8cm2，ac＝6cm2，解得a＝3cm，b＝4cm，c＝2cm.这个三棱锥的外接球就是以三棱锥的三条侧棱为长、宽、高的长方体的外接球，所以外接球的半径为292cm，体积为29629πcm3.答案：2929π6cm39．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠ACB＝π2，∠AA1C＝π6，侧棱BB1与底面所成的角为π3，AA1＝43，BC＝4.求斜三棱柱ABC－A1B1C1的体积V.解：在Rt△AA1C中，AC＝AA1·tan∠AA1C＝43×33＝4.作B1H⊥平面ABC，垂足为H，则∠B1BH＝π3，在Rt△B1BH中，B1H＝BB1·sin∠B1BH＝AA1·sinπ3＝43×32＝6.∴V＝S△ABC·B1H＝12×4×4×6＝48.10．(2009·宁夏、海南高考)如图，在三棱锥P－ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°.(1)证明：AB⊥PC；(2)若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P－ABC的体积．4解：(1)证明：因为△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°，所以Rt△PBC≌Rt△PAC，可得AC＝BC.如图，取AB中点D，连结PD、CD，则PD⊥AB，CD⊥AB，所以AB⊥平面PDC，所以AB⊥PC.(2)作BE⊥PC，垂足为E，连结AE.因为Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AE⊥PC，AE＝BE.由已知，平面PAC⊥平面PBC，故∠AEB＝90°.因为Rt△AEB≌Rt△PEB，所以△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形．由已知PC＝4，得AE＝BE＝2，△AEB的面积S＝2.因为PC⊥平面AEB，所以三棱锥P－ABC的体积V＝13×S×PC＝83.