第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度

1第七节斯托克斯公式环流量与旋度斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面的曲面积分与沿的边界曲线的曲线积分之间的联系.一、斯托克斯公式★例1★例2★例3二、空间曲线积分与路径无关的条件三、三元函数的全微分求积四、环流量与旋度★例4★例5★例6五、斯托克斯公式的向量形式，向量微分算子内容要点一、斯托克斯公式定理1设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR.LRdzQdyPdx(7.1)公式(7.1)称为斯托克斯公式.为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成.coscoscosRdzQdyPdxdSRQPzyx二、环流量与旋度设向量场,),,(),,(),,(),,(kzyxRjzyxQizyxPzyxA则沿场A中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分CRdzQdyPdx称为向量场A沿曲线C按所取方向的环流量.而向量函数yPxQxRzPzQyR,,称为向量场A的旋度，记为Arot，即2.kyPxQjxRzPizQyRArot旋度也可以写成如下便于记忆的形式：RQPzyxkjiArot.例题选讲利用斯托克斯公式计算例1(E01)计算曲线积分,ydzxdyzdx其中是平面1zyx被三坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.解按斯托克斯公式，有,dxdydzdxdydzydzxdyzdx由于的法向量的三个方向余弦都为正，再由对称性知:,3xyDddxdydzdxdydz所以.23ydzxdyzdx例2计算曲线积分,)()()(222222dzyxdyxzdxzy其中是平面2/3zyx截立方体：,10x,10y10z的表面所得的接痕，从x轴的正向看法，取逆时针方向.解取为题设平面的上侧被所围成部分，则该平面的法向量,3}3,1,1{n即,31coscoscos原式dSyxxyzyzyxz222222313131dSzyx)(34.293322334xyDdxdydS例3(E02)计算,)()()(222222Cdzyxdyzxdxzy式中C是).0,0(2,222222zRrrxyxRxzyx此曲线是顺着如下方向前进的:由它3所包围在球面Rxzyx2222上的最小区域保持在左方解由斯托克斯公式，有原式dSyxxzzy]cos)(cos)(cos)[(2dSRzyxRyxzRxzy)()(1)(dSyz)(2(利用对称性)dSRzdScos..2222RrdRRdxdyrxyx例4求矢量场kzjxyixA222在点2,1,10M处的散度及旋度.解AdivzAyAxAzyxzxx2)2(2.2z故0MAdiv.4ArotkyAxAjxAzAizAyAxyzxxzkyji)02()00()00(.2ky故0MArot.2k例5(E03)设,32222yzxyyxu求gradudiv(gradu)；rot(gradu).解graduzuyuxu,,}.6,4,2{yzxyxydiv(gradu)zyzyxyxxy)6()4()2(yxy642).(4yxrot(gradu).,,222222xyuyxuzxuxzuyzuzyu因为22232yzxyyxu有二阶连续导数,故二阶混合偏导数与求导次序无关,故4rot(gradu).0注：一般地，如果u是一单值函数，我们称向量场A=gradu为势量场或保守场，而u称为场A的势函数.例6(E04)设一刚体以等角速度kjizyx绕定轴L旋转，求刚体内任意一点M的线速度v的旋度.解取定轴l为z轴(见图10-7-4)，点M的内径rOM,kzjyix则点M的线速度vrzyxkjizyx,)()()(kxyjzxiyzyxxzzy于是vrotxyzxyzzyxkjiyxxzzy)(2kjizyx.2即速度场v的旋等于角速度的2倍.课堂练习1.计算,)()()(222AmBdzxyzdyxzydxyzx其中AmB是螺线2,sin,coshzayax从)0,0,(aA到),0,(haB的一段曲线.2.物体以一定的角速度依逆时针方向绕Oz轴旋转,求速度v和加速度w在空间点),,(zyxM和已知时刻t的散度和旋度.