第七节常见曲面的方程及图形

第七节常见曲面的方程及图形EquationandGraphofSurface教学目的:了解常见的空间曲线的标准方程并知道它们的图像.课题:曲面及其方程;常见的曲面方程及其图形.教学重点:空间曲面的图形及其方程教学难点:常见空间曲线的图形及方程教学方法:精讲常见曲面的方程及图形教学内容:一、曲面及其方程空间任一曲面都可以看作点的集合.在空间直角坐标系中,如果曲面S上的任一点(,,)Mxyz的坐标满足三元方程(,,)0Fxyz,不在曲面上的点的坐标都不满足该方程,那么就称该方程是曲面S的方程,而曲面S是该方程的图形或轨迹.【例1】一平面垂直平分两点(1,2,3)A和(2,1,4)B间的线段,求该平面的方程.解显然所求平面是与A及B等距离的点的轨迹.在平面上任取一点(,,)Mxyz,则有MAMB,而222222(1)(2)(3)(2)(1)(4)MAxyzMBxyz两边平方,化简,即得所求平面的方程26270xyz二、常见的曲面方程及其图形1.球面方程空间动点到一定点的距离等于常数,此动点的轨迹即为球面.定点叫做球心,常数叫做球的半径.设球心在点(,,)Cabc,半径为r,在球面上任取一点(,,)Mxyz,有MCr,即222()()()xaybzcr两边平方得2222()()()xaybzcr(1)此方程即为所求的球面方程.当(1)式中0abc,即球心在原点,半径为r时,(1)式可化为2222xyzr【例2】下列方程表示什么曲面?(1)2222440xyzxy(2)2222450xyzxy(3)2222460xyzxy解将方程左端配方(1)222(1)(2)9xyz,表示以点(1,2,0)C为球心,半径3r的球面;(2)222(1)(2)0xyz,由于此方程只有唯一的一组解:1,2,0xyz,即它表示一点(1,2,0);(3)222(1)(2)1xyz,这时,空间任一点坐标都不满足方程,即没有几何图像,称之为虚球面.2.母线平行于坐标轴的柱面方程设方程中不含某一坐标,如不含竖坐标z,即(,)0Fxy(2)它在xOy坐标面上的图形是一条曲线L,由于方程中不含z,故在空间中一切与L上的点(,,0)Pxy有相同纵坐标的点(,,)Mxyz均满足方程,也就是说,经过L上的任一点P而平行于z轴的直线上的一切点的坐标均满足方程.反之,如果''''(,,)Mxyz与曲线L上的任何点不具有相同的横、纵坐标,则点'M的坐标必不满足方程(2).满足方程(2)的点的全体构成一曲面,它是由平行与z轴的直线沿xOy平面上的曲线L移动而形成的,这种曲面叫做柱面.曲面L叫做准线,形成柱面的直线叫做柱面的母线.因此方程(2)在空间的图像是母线平行于z轴的柱面.同样地,方程(,)0Fyz的图像是母线平行于x轴的柱面;方程(,)0Fxz的图像是母线平行于y轴的柱面.(1)方程22221xyab(3)表示柱面,它的准线为xOy面上的椭圆,母线平行于z轴,称之为椭圆抛物面.在方程(3)中,当abr,即222xyr时,它表示圆柱面.(2)方程22221xyab表示准线为xOy面上的双曲线,母线平行于z轴的柱面,称之为双曲圆柱面.(3)方程22yPx表示准线为xOy面上的抛物线,母线平行于z轴的柱面,称之为抛物柱面.3.旋转曲面旋转曲面是由一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周而成的.这条直线叫做该旋转曲面的旋转轴,这条平面曲线叫做旋转曲面的母线.设在yOz平面上的曲线C的方程为(,)0Fyz,把曲线C绕z轴旋转一周,就得到一个以z轴为轴的旋转曲面.它的方程可以这样求得:设1111(,,)Mxyz为曲线C上任一点,则有11(,)0Fyz,当曲线C旋转时,点1M转到点(,,)Mxyz,这时1zz,点M和1M到z轴的距离相等,即221xyy把2211,zzyxy代入11(,)0Fyz得22(,)0Fxyz这就是所求的旋转曲面的方程.同理,xOy平面上的曲线(,)0Fxy绕y轴旋转一周,所得旋转曲面方程为22(,)0FxzyxOz平面上的曲线(,)0Fxz绕x轴旋转一周,所得旋转曲面方程为22(,)0Fxyz方程22zxy是yOz平面上的抛物线2zy绕z轴旋转一周而成的旋转曲面,称为旋转抛物面.4.常见的二次曲面及其方程(1)椭球面方程2222221xyzabc所表示的曲面叫做椭球面.(2)单叶双曲面方程2222221xyzabc所表示的曲面叫做单叶双曲面.(3)双叶双曲面方程2222221xyzabc所表示的曲面叫做双叶双曲面.特别的,2220xyz所表示的曲面叫做圆锥面.(4)抛物面(a)椭圆抛物面方程22(,0)22xyzpqpq所表示的曲面叫做椭圆抛物面.(b)双曲抛物面方程22(,0)22xyzpqpq所表示的曲面叫做双曲抛物面,也叫马鞍面.课堂练习:1.指出下列各方程表示什么曲面.(1)2221xyz(2)21x(3)22zxy(4)222231xyz小结:学习了常见曲面的方程及其图形,包括球面、柱面、旋转曲面、二次曲面等.要求了解常见空间曲线的标准方程并指导它们的图像。作业:P154-1,2