第七节微分方程在经济管理分析中的应用

第七节微分方程在经济管理分析中的应用ekk()DfPPdDeDdPPdDkDdPdDdPkDPlnlnlnDkPClnkPDCe例1设某商品的需求价格弹性（为常数），解根据需求价格弹性的定义分离变量得两边同时积分得因此可知该商品的需求函数为求该商品的需求函数于是得到微分方程LxdLdxAL0x0LLLx00()xdLkALdxLLk()dLkdxAL1ln()lnALkxC11()kxALCeCCkxLACe00xLL0CAL0()kxLAALe例2已知某厂的纯利润对广告费的变化率与常数和纯利润之差成正比.当时，试求纯利润与广告费之间的函数关系.（其中为常数）两边同时积分得于是得由初始条件，解得所以纯利润与广告费的函数关系为解根据题意，知分离变量得t()xxt()dxtdt()xt()axta()xt()()(())dxtkxtaxtdtk例3（逻辑斯谛曲线）在商品的销售预测中，时刻时的销售量用表示.如果商品的销售的增长速度正比于销售量及与销售接近饱和水平的程度之乘积（为饱和水平），求销售量函数解根据题意，可建立微分方程模型这里表示比例因子.分离变量得()()(())dxtkdtxtaxt11()()()dxtkdtxtaxt1()ln()xtaktCaxt1C12()()aktCaktxteCeaxt2C22()11aktaktaktaCeaxtCeCe2C等式变形为两端积分得(其中为任意的常数）（其中为任意的常数）（其中为任意的常数）于是化简为从而可得通解为()PPtt1(0,0)DbaPab2(0,0)DdcPcdPt12()DD()PPt()PPt120()()()(0)tdPADDAacPAbddtPP例4（市场动态均衡价格）某商品的市场价格随时间变动，其需求函数为又设价格随时间的变化率与超额需求成正比，求价格函数解根据题意，价格函数满足微分方程：供给函数为()()1()()AacdtAacdtPPteAbdeC()()1()()AacdtAactAbdeeCAac()1AactbdCeac(0)PP1(0)bdCPac()(0)AactbdbdPPeacact()bdPPtacbdact利用一阶线性微分方程通解公式，可得由初始条件，得到代入上式得由解的表达式可得，当时，称为均衡价格，即当趋向均衡价格.时，价格将逐步