第七节抛物线

1第七节抛物线[知识能否忆起]1．抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈R对称轴x轴顶点坐标原点O(0,0)焦点坐标p2，0－p2，0准线方程x＝－p2x＝p2离心率e＝1标准方程x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形范围y≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴y轴顶点坐标原点O(0,0)焦点坐标0，p20，－p2准线方程y＝－p2y＝p2离心率e＝1[小题能否全取]1．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是()A．x2＝－12yB．x2＝12yC．y2＝－12xD．y2＝12x2解析：选A∵p2＝3，∴p＝6，∴x2＝－12y.2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是()A.18B．－18C．8D．－8解析：选B抛物线的标准方程为x2＝1ay.则a＜0且2＝－14a，得a＝－18.3．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为()A．4B．6C．10D．16解析：选D设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则依题意得焦点F(0，1)，准线方程是y＝－1，直线l：y＝3x＋1，由y＝3x＋1，x2＝4y，消去x得y2－14y＋1＝0，y1＋y2＝14，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝(y1＋y2)＋2＝16.4．已知斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a＞0)的焦点F，且与y轴相交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．解析：依题意得，|OF|＝a4，又直线l的斜率为2，可知|AO|＝2|OF|＝a2，△AOF的面积等于12·|AO|·|OF|＝a216＝4，则a2＝64.又a＞0，所以a＝8，该抛物线的方程是y2＝8x.答案：y2＝8x5．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．解析：其准线方程为x＝－2，又由点P到y轴的距离为4，则P点横坐标xP＝4，由定义知|PF|＝xP＋p2＝6.答案：61.抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，p2等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助．2．用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用．3．由y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)求焦点坐标时，只需将x或y的系数除以4，再确定焦点位置．抛物线的定义及应用[例1](1)已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34B．1C.54D.74(2)在抛物线C：y＝2x2上有一点P，若它到点A(1,3)的距离与它到抛物线C的焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()A．(－2,1)B．(1,2)C．(2,1)D．(－1,2)[自主解答](1)如图，由抛物线的定义知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝3，|CD|＝32，所以中点C的横坐标为32－14＝54.3(2)由题知点A在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P，使得该点到点A与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P是直线x＝1与抛物线的交点，故所求P点的坐标是(1,2)．[答案](1)C(2)B由题悟法涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．以题试法1．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.解析：由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又∵|AF|＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A的横坐标为2.将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知，y＝22，∴A(2,22)，∴直线AF的方程为y＝22(x－1)．又y＝22x－1，y2＝4x，解得x＝12，y＝－2，或x＝2，y＝22.由图知，点B的坐标为12，－2，∴|BF|＝12－(－1)＝32.答案：32抛物线的标准方程及几何性质[例2](1)已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A．x2＝833yB．x2＝1633yC．x2＝8yD．x2＝16y(2)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝()A．22B．23C．4D．25[自主解答](1)∵双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴ca＝a2＋b2a＝2，∴b＝3a，∴双曲线的渐近线方程为3x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点0，p2到双曲线的渐近线的距离为3×0±p22＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.(2)依题意，设抛物线方程是y2＝2px(p0)，则有2＋p2＝3，得p＝2，故抛物线方程是y2＝4x，点M的坐标是(2，±22)，|OM|＝22＋8＝23.[答案](1)D(2)B由题悟法1．求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p但要注意判断标准方程的形式．2．研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同4时注意平面几何性质的应用．以题试法2．(2012·南京模拟)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线与y轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且|NF|＝32|MN|，则∠NMF＝________解析：过N作准线的垂线，垂足为H，则|NF|＝|NH|＝32|MN|，如图．∴cos∠MNH＝32，∴∠MNH＝π6，∴∠NMF＝π6.答案：π6直线与抛物线的位置关系[例3]如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p0)上．(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．[自主解答](1)依题意，|OB|＝83，∠BOy＝30°.设B(x，y)，则x＝|OB|sin30°＝43，y＝|OB|cos30°＝12.因为点B(43，12)在x2＝2py上，所以(43)2＝2p×12，解得p＝2.故抛物线E的方程为x2＝4y.(2)证明：由(1)知y＝14x2，y′＝12x.设P(x0，y0)，则x0≠0，y0＝14x20，且l的方程为y－y0＝12x0(x－x0)，即y＝12x0x－14x20.由y＝12x0x－14x20，y＝－1，得x＝x20－42x0，y＝－1.所以Q为x20－42x0，－1.设M(0，y1)，令MP·MQ＝0对满足y0＝14x20(x0≠0)的x0，y0恒成立．由于MP＝(x0，y0－y1)，MQ＝x20－42x0，－1－y1，由MP·MQ＝0，得x20－42－y0－y0y1＋y1＋y21＝0，即(y21＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)由于(*)式对满足y0＝14x20(x0≠0)的y0恒成立，所以1－y1＝0，y21＋y1－2＝0，解得y1＝1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)．由题悟法1．设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线Ax＋By＋C＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q＝0.(1)若m≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点；5当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点．(2)若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行．2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据)(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(θ为AB的倾斜角)．(3)S△AOB＝p22sinθ(θ为AB的倾斜角)．(4)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(5)以AB为直径的圆与准线相切．(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．(7)∠CFD＝90°.以题试法3．如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点F.(1)若点O到直线l的距离为12，求直线l的方程；(2)设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴的交点，试判断AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．解：(1)抛物线的焦点F(1,0)，当直线l的斜率不存在时，即x＝1不符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.所以，|－k|1＋k2＝12，解得k＝±33.故直线l的方程为：y＝±33(x－1)，即x±3y－1＝0.(2)直线AB与抛物线相切，证明如下：设A(x0，y0)，则y20＝4x0.因为|BF|＝|AF|＝x0＋1，所以B(－x0,0)．所以直线AB的方程为：y＝y02x0(x＋x0)，整理得：x＝2x0yy0－x0①把方程①代入y2＝4x得：y0y2－8x0y＋4x0y0＝0，Δ＝64x20－16x0y20＝64x20－64x20＝0，所以直线AB与抛物线相切．[典例]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝()A.45B.35C．－35D．－45[解析]法一：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．6由题意得点F(1,0)，由y2＝4xy＝2x－4消去y得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4.因此可令点A(1，－2)，B(4,4)，F(1,0)，∴|AB|＝35，|FA|＝2，|FB|＝5.∴在△FAB中，由余弦定理知，cos∠AFB＝－45.法二：由法一知A(1，－2)，B(4,4)，F(1,0)，∴FA＝(0，－2)，FB＝(3,4)，∵∠AFB可以看作向量FA、FB的夹角．∴cos∠AFB＝FA·FB|FA||FB|＝－45.[答案]D[题后悟道]等价转化思想在抛物线中应用广泛．除遇到焦点到抛物线上的点之间的距离问题使用定义转化外，有时线段的长度、角度等问题可转化为相应向量的模与夹角去处理，如典例法二将∠AFB转化为向量FA―→、FB夹角计算时较法一利用余弦定理简单，注意体会运用．针对训练已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________．解析：由抛物线的定义知，点P到点Q和点P到抛物线焦点的距离之和等于点P到点Q和点P到抛物线准线的距离之和，因为距离之和为最小，所以从点Q向抛物线的准线引垂线，与抛物线的交点P即为所求，故点P坐标为14，－1.答案：14，－11．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．解析：直线l的方程为y＝3(x－1)，即x＝33y＋1，代入抛物线方程得y2－433y－4＝0，解得yA＝433＋163＋162＝23(yB＜0，舍去)，故△OAF的面积为12×1×23＝3.答案：32．已知顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴的抛物线上有一点A12，m，A点到抛物线焦点的距离为1.(1)求该抛物线的方程；(2)设M(x0，y0)为抛物线上的一个定点，过M作抛物线的两条相互垂直的弦MP，MQ，求证：PQ恒过定点(x0＋2，－y0)；(3)直线x＋my＋1＝0与抛物线交于E，F两点，问在抛物线上是否存在点N，使得△NEF为以EF为斜边的直角三角形？若有，求出该点存在时需满足的条件；若无，请说明理由．解：(1)由题意可设抛物线的方程为