第七节指数函数与对数函数

高考总复习·数学（理科）第七节指数函数与对数函数1.(2013·德州二模)函数y＝|x|axx(a＞1)的图象大致形状是()解析：当x＞0时，y＝ax(a＞1)为增函数．当x＜0时，y＝－ax(a＞1)与y＝ax关于x轴对称．故选B.答案：B2.已知函数f(x)＝logax(a0，a≠1)的图象如右图所示，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则函数y＝g(x)的解析式为()A．g(x)＝2xB．g(x)＝12xC．g(x)＝log12xD．g(x)＝log2x解析：由图象知函数f(x)＝logax(a0，a≠1)过点(2，－1)，高考总复习·数学（理科）∴loga2＝－1.∴a＝12.∵函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，∴函数y＝g(x)与y＝f(x)互为反函数．∴g(x)＝12x.故选B.答案：B3．(2013·河北省高三质监)函数y＝log12(3x－a)的定义域是23，＋∞，则a＝()A．2B．－2C．3D．－3解析：由3x－a＞0得x＞a3.因此，函数y＝log12(3x－a)的定义域是a3，＋∞，所以a3＝23，得a＝2.故选A.答案：A4．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a0且a≠1)的反函数，其图象经过点(a，a)，则f(x)＝()A．log2xB．log12xC.12xD．x2解析：f(x)＝logax，点(a，a)在其图象上，∴a＝logaa，即aa＝a12，解得a＝12.∴f(x)＝log12x.故选B.答案：B高考总复习·数学（理科）5．已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f12014＝4，则f(2014)的值为()A．2B．1C．－1D．0解析：∵f12014＋f(2014)＝alog212014＋blog312014＋2＋alog22014＋blog32014＋2＝4，∴f(2014)＝0.答案：D6.(2013·洛阳质检)设函数f(x)＝2x，x＜0，gx，x＞0.若f(x)是奇函数，则g(2)的值是()A．－12B.12C．－14D.14解析：令x＞0，则－x＜0，∴f(－x)＝2－x，又∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)＝－2－x，∴g(x)＝－2－x,∴g(2)＝－2－2＝－14.故选C.答案：C7．(2013·汕尾二模)设g(x)＝exx，lnxx＞，则g(g(0))＝________.解析：∵当x＝0时，g(x)＝ex，∴当x＝0时，g(0)＝e0＝1，∴g(g(0))＝g(1)，∵当x＞0时，g(x)＝lnx，∴当x＝1时，g(1)＝ln1＝0，∴g(g(0))＝0，故答案为0.答案：08．定义：区间[x1，x2](x1＜x2)的长度为x2－x1.已知函数f(x)高考总复习·数学（理科）＝|log12x|的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________．答案：39．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y＝f(x)的图象恰好经过k个格点，则称函数y＝f(x)为k阶格点函数．下列函数中为一阶格点函数的序号是________________．①y＝x2；②y＝x－1；③y＝ex－1；④y＝log2x.解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①、④都有无数个格点，②有两个格点(1,1)、(－1，－1)，而③y＝ex－1除了(0,0)外，其余点的坐标都与e有关，所以不是整点，故③符合．填③.答案：③10．已知函数f(x)＝12x的图象与函数g(x)的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝g(1－|x|)，则关于函数h(x)有下列命题：①h(x)的图象关于原点对称；②h(x)为偶函数；③h(x)的最小值为0；④h(x)在(0,1)上为减函数．其中正确命题的序号为____________(将所有正确命题的序号都填上)．答案：②③11.(2013·抚顺月考)已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象．(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．高考总复习·数学（理科）解析：(1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，∵Q(－x，－y)在f(x)的图象上，∴－y＝loga(－x＋1)，即y＝g(x)＝－loga(1－x)．(2)f(x)＋g(x)≥m，即logax＋11－x≥m.设F(x)＝loga1＋x1－x，x∈[0,1)，由题意知，只要F(x)min≥m即可．∵F(x)在[0,1)上是增函数，∴F(x)min＝F(0)＝0.故m≤0即为所求．12．已知函数f(x)＝a－22x＋1.(1)若函数f(x)为奇函数，求a的值．(2)若a＝2，则是否存在实数m，n(m＜n＜0)，使得函数y＝f(x)的定义域和值域都为[m，n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.∴a＝1.(2)(法一)不存在实数m，n满足题意．易知f(x)＝2－22x＋1.∵y＝2x在R上是增函数，∴f(x)在R上是增函数．假设存在实数m，n(m＜n＜0)满足题意，则有2－22m＋1＝m，①2－22n＋1＝n，②∵m＜0，∴0＜2m＜1.∴0＜2－22m＋1＜1.而①式左边＞0，右边＜0，故①式无解．高考总复习·数学（理科）同理②式无解．故不存在实数m，n满足题意．(法二)不存在实数m，n满足题意．易知f(x)＝2－22x＋1.∵y＝2x在R上是增函数，∴f(x)在R上是增函数．假设存在实数m，n(m＜n＜0)满足题意，则有f(m)＝m，f(n)＝n，即m，n是方程f(x)＝x的两个不等负根．由2－22x＋1＝x，得2x＋1＝－2x－2.令h(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x－2.∵函数g(x)在(－∞，0]上单调递增，∴当x＜0时，g(x)＜g(0)＝1.而h(x)＞1，∴h(x)＞g(x)．∴方程2x＋1＝－2x－2在(－∞，0)上无解．故不存在实数m，n满足题意．