第七节斯托克斯公式环流量旋度

1第七节斯托克斯公式、环流量、旋度教学目的：了解斯托克斯公式、环流量和旋度的概念教学重点：斯托克斯公式教学难点：斯托克斯公式的应用教学时间：1课时教学内容：一、斯托克斯公式定理1设为分段光滑的空间有向闭曲线是以为边界的分片光滑的有向曲面的正向与的侧符合右手规则函数P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)在曲面(连同边界)上具有一阶连续偏导数则有dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdx证明(略).说明：(1)为便于记忆,利用三阶行列式记号将斯托克斯公式写成RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz(2)由两类曲面间关系，斯托克斯公式另一形式RdzQdyPdxdSRQPzyxcoscoscos其中n(coscoscos)为有向曲面的单位法向量(3)若是xoy面上的闭区域，则斯托克斯公式成为格林公式,因此格林公式为斯托克斯公式的特例例1计算,ydzxdyzdx为平面1zyx被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的方向与这个三角形上侧的法向量间符合右手规则解设为闭曲线所围成的三角形平面在yOz面、zOx面和xOy面上的投影区域分别为Dyz、Dzx和Dxy令yRxQzP,,1,0,0,1,1,0zPxRzQyRxQyP，图10-7-1zyxo2按斯托克斯公式有ydzxdyzdxyxzzyxdxdydzdxdydzdxdydzdxdydz又由于对称性上式右端等于233xyxyzxyzDDDDdxdydxdydzdxdydz所以有ydzxdyzdx23例2利用斯托克斯公式计算曲线积分dzyxdyxzdxzyI)()()(222222其中是用平面23zyx截立方体0x10y10z1的表面所得的截痕若从x轴的正向看去取逆时针方向解取为平面23zyx的上侧被所围成的部分的单位法向量)1,1,1(31n即31coscoscos按斯托克斯公式有dSzyxdSyxxzxyzyxI)(34313131222222xyDdxdydS3322334其中Dxy为在xOy平面上的投影区域于是294366xyDdxdyI二、环流量与旋度1．旋度由向量场A(P(xyz)Q(xyz)R(xyz))所确定的向量场kji)()()(yPxQxRzPzQyR称为向量场A的旋度记为rotA即)1,0,0()0,0,1()0,1,0(zxyO21yox1211xyD23yx21yx3kjiA)()()(yPxQxRzPzQyRrot旋度的记忆法RQPzyxkjiArot斯托克斯公式的另一形式dsdSAnArot或dsAdSn)(Arot其中n是曲面上点(xyz)处的单位法向量是的正向边界曲线上点(xyz)处的单位切向量２．环流量沿有向闭曲线的曲线积分dsARdzQdyPdx叫做向量场A沿有向闭曲线的环流量斯托克斯公式可以叙述为：向量场A沿有向闭曲线的环流量等于向量场A的旋度场通过所张的曲面的通量小结与思考：1．斯托克斯公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdx＝RQPzyxdxdydzdxdydz＝dSRQPzyxcoscoscos其中n(coscoscos)为有向曲面的单位法向量2．环流量和旋度向量场A沿有向闭曲线的环流量为dsARdzQdyPdx向量场A的旋度kjiA)()()(yPxQxRzPzQyRrot作业：练习册10.7