数理方程习题全解

习题11.1计算下列各式的值，并且写出相应的三角表达式和指数表达式（1）5454543sin3cos4sin4cos223211213122jjjjjj3135sin35cossincos2jjj31j，32sin32cos2j，322je。（2）35sin35cos3sin3cos232155jjj2321j2321j，3sin3cosj，3je。（3）32sin32cos22321231jjj2322sin2322cos2kjk3sin3cos2kjk3sin13cos12kkj31221jk1,0k3122j，3122j；913sin3cos2j，32sin32cos2j；32je，322je。（4）4183444sin4cos221212222jjj442sin442cos283kjk162sin162cos283kjk3,2,1,0k16sin16cos283j，167sin167cos283j，1615sin1615cos283j，169sin169cos283j；16832je，167832je，1615832je，169832je。1.2证明（1）nkkkknknjCnjn0sincossincos3,2,1n；证njnjnsincossincosnkkknknjC0sincosnkkkknknjC0sincos（2）21sin221sin21cos1nknk证jnjnkjknknkeeekjk11sincos1000sincos11sin1cos1jnjncos12sincos11sin1cos1jnjn92cos121sinsin1coscos1coscos1cos0nnnknk2sin41cos1sinsin1coscos212nnn2sin41cos1cos212nn2sin41coscos212nn2sin42sin22sin2212nnn2sin221sin21n此式称为拉格朗日三角恒等式。从上式可以得到2sin221sin211coscos01nkknknk1.3解方程（1）；083jz解3332sin2cos228jjjz632sin632cos2kjkz2,1,0k0k：jjjz3212326sin6cos21k：jjjz22sin2cos2632sin632cos22k：67sin67cos2634sin634cos2jjzjjj3212326sin6cos2（2）；044z解444sincos2124jz93=412sin412cos2kjk3,2,1,0k：0kjjjz1212124sin4cos211k：jjjz12121243sin43cos222k：jjjz12121245sin45cos233k：jjjz12121247sin47cos24（3）01nz解=zn1=nj000sin0cos=nkjnk2sin2cos1,,2,1,0nk1.4证明下面各式（1）212121zzzzzz，且说明几何意义；证221zz=2121zzzz=2121zzzz=12212211zzzzzzzz=212221Re2zzzz21212121222Re2zzzzzzzz2122212122212122212Re22zzzzzzzzzzzz221221221zzzzzz212121zzzzzz几何意义，1zOB，2zOA，21zzAB，2121zzzz是三角形任一边大于另两边之差；2121zzzz是三角形两边之和大于第三边；等号表示和位于通过原点的同一条直线上线段之间的关系。1z2z94A1z2zBxO图1.1题1.3（1）图（2）212121zzzzzz，且说明几何意义；证在（1）的结论212121zzzzzz中，令用去代，可以得到本题结论：2z2z212121zzzzzz。从题图可见，1zOB，2zAB，21zzOA，其几何意义与（1）的意义相同。2zA2zB1zO图1.2题1.3（2）图（3）2121zzzz；证2121221zzzzzz212122112221221zzzzzzzzzzzz上两式是相等的，有21212121zzzzzzzz上式两边消去，有21zz952121zzzz（4）2121zzzz；02z证2121221zzzzzz212122112221221zzzzzzzzzzzz上两式是相等的，有21212121zzzzzzzz即有2121zzzz*(5);2121argargargzzzz证2121arg21arg2121zzjzzjezzezzzz2121argarg21arg2arg121zzjzjzjezzezezzz2121argarg21arg21zzjzzjezzezz由于只考虑主辐角，上式可以得到2121argargargzzzz*（6）若nnaaaaa12100，则有0112210nnnnzazazazaa在1z内无根。证：设，则有0111azazazazPnnnnnzPzn10111011azazazazazazannnnnnnn9600112111azaazaazaazannnnnnnn00112111azaazaazaazannnnnnnn00112111azaazaazaazannnnnnnn当1z时，有001121111azaazaazaazazPznnnnnnnnn0012111aaaaaaazzannnnnnn011zzazazannnnnn又因为011zz，所以得到011zPzzPznn0zPn，即1z时无根。zPn1.5写出下面曲线方程的复变量形式（1）双曲线方程；122yx解设iyxz，iyxz，可以导出2zzx，jzzy2带入方程得到22222zzzz化简后有222zz（2）椭圆方程12222byax；解将2zzx和jzzy2带入原方程后有1442222bzzazz化简后有0141412121414122222222zbazzbazba97（3）中心在（复常数），半径为R的圆的方程0z解方程是Rzz0，或200220RzzzzRzz20000Rzzzzzzzz（4）直线方程0CByAx解将zzx21，zzjy2代入原方程，得到022CzzjBzzA02CzjBjBzzAAz02CzjBAzjBA*1.6求下面复数列的极限（1）643j，2643j，…，nj643，…；解nnnnjja545365643nnjsincos65njnnnsin65cos65其中34tan，34arctan0sin65limcos65limlimnjnannnnnn注意：复极限，0limzznnnnnjyxz，000jyxz，等价于两个极限，0limxxnn0limyynn。（2）1，j21，31，j41，51，j61，71，j81，…。98解方法1：因11nan，故0limnna；方法2：通项公式是21sin21cos1112njnnenanjn021sin1lim21cos1limlimnnjnnannnn1.7在复平面上画出满足下列关系的点集图形，其中那些关系确定的点集是区域，它们的边界是什么？（1）6arg0jz；解几何法。在复平面上任取一点z，则z-j的向量如图1.3所示。其辐度为，其矢径长度时，扫过的角度60的区域为所求的解。根据斜率和过A的直线可以球场区域的边界是1y，133xyyzj6Ax图1.3题1.7（1）图代数法。令jzarg，将不等式6arg0jz取正切，得到6tantan0，于是有33tan0而1argyjxjzarg，辐角在第Ⅰ象限。由辐角定义可知此时应取，0x99xy1arctan，所以得到6arctan0xy，所以应解不等式组33100xyx，解为13310xyx（2）312z，且23Re2z；解