第七讲含绝对值的方程及不等式

第七讲含绝对值的方程及不等式从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的．由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点．本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法．一个实数a的绝对值记作｜a｜，指的是由a所唯一确定的非负实数：含绝对值的不等式的性质：(2)｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜；(3)｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜．由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．例1解方程｜x-2｜+｜2x+1｜=7．分析解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零掉绝对值符号再求解．解(1)当x≥2时，原方程化为(x-2)+(2x+1)=7，-(x-2)+(2x+1)=7．应舍去．-(x-2)-(2x+1)=7．说明若在x的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解，应舍去．例2求方程｜x-｜2x+1｜｜=3的不同的解的个数．为只含有一个绝对值符号的方程．然后再去掉外层的绝对值符号求解．｜x-(2x+1)｜=3，即｜1+x｜=3，所以x=2或x=-4．｜x+(2x+1)｜=3，即｜3x+1｜=3，的个数为2．例3若关于x的方程｜｜x-2｜-1｜=a有三个整数解．则a的值是多少？解若a＜0，原方程无解，所以a≥0．由绝对值的定义可知｜x-2｜-1=±a，所以｜x-2｜=1±a．(1)若a＞1，则｜x-2｜=1-a＜0，无解．｜x-2｜=1＋a，x只能有两个解x=3+a和x=1-a．(2)若0≤a≤1，则由｜x-2｜=1+a，求得x=1-a或x=3+a；由｜x-2｜=1-a，求得x=1+a或x=3-a．原方程的解为x=3+a，3-a，1+a，1-a，为使方程有三个整数解，a必为整数，所以a只能取0或1．当a=0时，原方程的解为x=3，1，只有两个解，与题设不符，所以a≠0．当a=1时，原方程的解为x=4，0，2，有三个解．综上可知，a=1．例4已知方程｜x｜=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围．解设x为方程的负根，则-x=ax+1，即所以应有a＞-1．反之，a＞-1时，原方程有负根．设方程有正根x，则x=ax＋1，即所以a＜1．反之，a＜1时，原方程有正根．综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须a≥1．例5设求x+y．分析从绝对值的意义知两个非负实数和为零时，这两个实数必须都为零．解由题设有把③代入①得解之得y=-3，所以x=4．故有x+y=4-3=1．例6解方程组分析与解由①得x-y=1或x-y=-1，即x=y+1或x=y-1．与②结合有下面两个方程组解(Ⅰ)：把x=y+1代入｜x｜+2｜y｜=3得｜y+1｜+2｜y｜=3．组(Ⅰ)的解为同理，解(Ⅱ)有故原方程组的解为例7解方程组解由①得x+y=｜x-y｜+2．因为｜x-y｜≥0，所以x+y＞0，所以｜x+y｜=x+y．③把③代入②有x+y=x+2，所以y=2．将之代入①有｜x-2｜=x，所以x-2=x，④或x-2=-x．⑤④无解，所以只有解⑤得x=1．故为原方程组的解．说明本题若按通常的解法，区分x+y≥0和x+y＜0两种情形，把方程②分成两个不同的方程x+y=x+2和-(x+y)=x+2，对方程①也做类似处理的话，将很麻烦．上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质，从方程①中发现必有x+y＞0，因而可以立刻消去方程②中的绝对值符号，从而简化了解题过程．例8解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1．＜x≤5，x＞5．-(x-5)-[-(2x+3)]＜1，-(x-5)-(2x+3)＜1，(3)当x＞5时，原不等式化为x-5-(2x+3)＜1，解之得x＞-9，结合x＞5，故x＞5是原不等式的解．的解．例9解不等式1≤｜3x-5｜≤2．分析与解此不等式实际上是解对｜3x-5｜≥1：对｜3x-5｜≤2：所以①与②的公共解应为例10解不等式｜｜x+3｜-｜x-3｜｜＞3．解从里往外去绝对值符号，将数轴分为x≤-3，-3＜x≤3，x＞3三段来讨论，于是原不等式化为如下三个不等式组．即x≤-3．即x＞3．说明本题也可以由外向内去绝对值符号，由绝对值的意义，解下面两个不等式分别解出①和②即可，请同学们自己完成这个解法．例11当a取哪些值时，方程｜x+2｜+｜x-1｜=a有解？解法1(1)当x≤-2时，｜x+2｜+｜x-1｜=-2x-1≥-2(-2)-1=3．(2)当-2＜x＜1时，｜x+2｜+｜x-1｜=x+2-x+1=3．(3)当x≥1时，｜x+2｜+｜x-1｜=2x+1≥2·1+1=3．所以，只有当a≥3时，原方程有解．解法2按照绝对值的性质｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜，故｜x+2｜+｜x-1｜≥｜(x+2)-(x-1)｜=3．其中等号当-2≤x≤1时成立，所以当a≥3时，原方程有解．练习七1．解下列方程：(1)｜x+3｜-｜x-1｜=x+1；(2)｜｜1+x｜-1｜=3x；(3)｜3x-2｜-｜x+1｜=x+2；(4)｜3y-2｜=-｜5x-3｜．2．解方程组：3．解下列不等式：(2)5≤｜5x-3｜≤10；(3)｜x+1｜+｜4-x｜＜6；(4)｜｜x-1｜-｜x+2｜｜＞1．4．若a＞0，b＜0，则方程｜x-a｜+｜x-b｜=a-b的解是什么？