第三单元万有引力定律和人造地球卫星

第四章曲线运动和万有引力定律1第三单元万有引力定律和人造地球卫星高考要求：1、了解开普勒三大定律的内容；2、掌握万有引力定律并能应用；3、知道万有引力和重力的不同；4、会用万有引力定律和圆周运动知识研究人造卫星；5、理解同步卫星运动的各物理量；6、理解三种宇宙速度，会推导第一宇宙速度；7、知道航天技术发展。知识要点：一、开普勒对行星运动的描述1、开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的焦点上。即轨道定律。2、开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等。即面积定律。（此定律不作要求）3、开普勒第三定律：所有行星的轨道长半轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。即R3/T2＝K。也叫周期定律。K值与行星无关，只与中心天体质量有关。二、万有引力定律1、内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体的引力的大小，跟它们质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成正比，引力的方向在两物体的连线上。2、公式：F＝Gm1m2/r2，其中G＝6.67×10－11Nm2/kg2。叫引力常量。3、适用条件：适用于质点间的相互作用。当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。4、引力常量G的测定：是卡文迪许通过扭力秤装置测出了引力常量的数值。引力常量的测出的重要意义表现在：证明了万有引力的存在和使万有引力定律有实用价值。三、万有引力和重力1、重力是万有引力产生的：由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力，重力实际上是万有引力的一个分力，另一分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的F向变化，物体做圆周运动的向心力F向不断变化，因而表面物体的重Fmg力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大。通常的计算中因重力和万有引和相差不大，而认为两者相等，即mg＝GMm/R2，g＝GM/R2常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，因为物体所受引力随物体离地面高度的增加而减小，即g′＝GM/(R＋h)2。2、在赤道处，物体的万有引力分解的两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝GMm/R2－mRω自2。1）因地球自转角速度很小，GMm/R2＞＞mRω自2，所以mg＝GMm/R2。（一般情况下不考虑自转带的影响，认为重力等于万有引力。）2）假设地球自转加快，即ω自变大，由mg＝GMm/R2－mRω自2知物体的重力将变小，第四章曲线运动和万有引力定律2当GMm/R2＝mRω自2时，mg＝0，此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度ω自＝√GM/R3，比现在地球自转角速度要大得多。四、应用万有引力定律分析天体的运动1、基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。GMm/r2＝mv2/r＝mω2r＝m(2π/T)2r＝m(2πf)2r应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析和计算。2、天体质量和密度的计算（以地球质量为例）1）“g、R”计算法：若已知地球半径R和地球表面的重力加速度g，依mg＝GMm/R2得M＝gR2/G，∴ρ地＝M/V＝3g/4πGR。“GM＝gR2”通常称为黄金代换式，在求解一些问题时很有用处。2）“T、r”计算法：若已知地球的卫星（如月球）绕地球做匀速圆周运动的周期T和半径r，由GMm/r2＝m(2π/T)2r，得M＝4π2r3/GT2，∴ρ地＝M/V＝3πr3/GT2R3。若某一卫星绕地球在近地表面做圆周运动，则r＝R，此时ρ地＝3π/GT2，只需测定运行周期即可。3、人造卫星：绕地球飞行的物体。人造卫星的发送分三个阶段：发射升空阶段、飘移进入轨道阶段和进入预定轨道上绕地球运行阶段。在第一阶段有竖直向上的加速度，处于超重状态；第三阶段有竖直向下的加速度且为重力加速度，故处于完全失重状态。4、人造地球卫星绕地球运行时的向心加速度、线速度、角速度、周期、动能与半径r的关系：1）由GMm/r2＝ma得卫星的向心加速度a＝GM/r2∝1/r2，故r越大，向心加速度a越小。2）由GMm/r2＝mv2/r得卫星的线速度v＝√GM/r∝1/√r，故r越大，线速度v越小。地球卫星的最大速度vm＝√GM/R＝√gR＝7.9km/s。3）由GMm/r2＝mω2r得卫星的角速度ω＝√GM/r3∝1/√r3，故r越大，角速度ω越小。4）由GMm/r2＝m(2π/T)2r得卫星的周期T＝2π√r3/GM∝√r3，故r越大，周期越大。地球卫星的最小周期T＝2π√R3/GM＝2π√R/g≈84min5）由GMm/r2＝mv2/r得卫星的动能Ek＝GMm/2r∝1/r，故r越大，同一卫星的动能Ek越小。5、三种宇宙速度1）第一宇宙速度：人造卫星有地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，又叫环绕速度，大小为v＝7.9km/s。是最小发射速度，也是最大环绕速度。推导：见4、2）。2）第二宇宙速度：使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，又叫脱离速度，大小为v＝11.2km/s。3）第三宇宙速度：使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，又叫逃逸速度，大小为v＝16.7km/s。6、同步卫星（通信卫星均为同步卫星）：相对一地球静止的卫星称为地球同步卫星。地球同步卫星有四个一定：位置一定：一定在地球赤道上空；周期一定：T＝86400s，即地球的自转周期。高度一定：h＝3.6×107m。速率一定：v＝3.1km/s。第四章曲线运动和万有引力定律3典型例题：例1、飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T。如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A处，将速率降低到适当数值，RR0从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆的地球表面BA在B点相切，如图所示，如果地球半径为R0，求飞船由A点到B点所需要的时间。例1图例2、如图所示，在半径为R的铅球中控出一个球形空穴，空穴与R球相切，并能通过铅球的球心。在未挖去空穴前铅球质量为M。Om求铅球对与铅球球心距离为d的质量为m的小球的万有引力是d多大？例2图例3、组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率。如果超过该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体的圆周运动，由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T。下列表达式中正确的是（）A．T＝2π√R3/GM；B．T＝2π√3R3/GM；C．T＝√π/Gρ；D．T＝√3π/Gρ。例4、太空中有一颗恒星做匀速圆周运动的行星，此行星上一昼夜的时间是6h。在行星的赤道处用弹簧秤测量物体的重力的读数比在两极时测量的读数小10%，求此行星的平均密度。（已知引力常量G＝6.67×10－11Nm2/kg2，结果取三位有效数字）例5、地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%，经估算，地核的平均密度为_____________kg/m3。（结果取两位有效数字，G＝6.67×10－11Nm2/kg2，R地＝6.4×106m）例6两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，球两星的总质量。例7、在圆轨道上的质量为m的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球半径R，地面上的重力加速度为g，则（）A．卫星运动的速度为√2gR；B．卫星运动的周期为4π√2R/g；C．卫星运动的加速度为g/2；D．卫星的动能为mgR/4。例8、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1上，然后P经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同2步轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点（如图1所示），则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正Q3确的是（）A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率；B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度；例8图C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度；D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度。第四章曲线运动和万有引力定律4例9、2001年1月20日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内。若把甘肃嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α＝40°，已知地球半径R、地球自转周期T、地球表面重力加速度g（视为常量）和光速c。试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接必站所需的时间。（要求用题给的已知量和符号表示）例10、1990年3月，中国紫金山天文台将1965年9月20日发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，其直径2R＝32km，如该小行星的密度和地球密度相同，则对该小行星而言，第一宇宙速度为多少？（已知地球半径R0＝6400km，地球的第一宇宙速度v1≈8km/s）例11、月球半径约为地球半径的1/4，月球表面重力加速度为地球表面重力加速度的1/6，则（）A．月球平均密度约为地球平均密度的1.5倍；B．环月卫星的最小周期大于环地卫星的最小周期；C．环月卫星的第一宇宙速度大于环地卫星的第一宇宙速度；D．地球质量约为月球质量的16倍。例12、同步卫星离地心距离r，运行速率v1，加速度a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则以下正确的是（）A．a1/a2＝r/R；B．a1/a2＝(R/r)2；C．v1/v2＝r/R；D．v1/v2＝(R/r)1/2。例13、已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v2＝√2GME/RE，其中G、ME、RE分别是引力常量、地球的质量和半径。已知G＝6.67×10－11Nm2/kg2，c＝2.9979×108m/s。求下列问题：⑴逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M＝1.98×1030kg，求它的可能最大半径（这个半径叫Schwarzchild半径）；⑵在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10－27kg/m3，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光的真空中的速度c，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？例14、若近似认为月球绕地球公转与地球绕日公转的轨道在同一平满月月球面内，且均为正圆，又知这两种转动同秘，如图所示，月相变满月θ地球化的周期为29.5天（图示是相继两次满月时，月、地、日相对29.5天位置的示意图）。求：月球绕地球转一周所用的时间T（因月球θ总有一面朝向地球，故T恰是月球自转的周期）（提示：可借鉴太阳恒星日、太阳日的解释方法）。例14图答案：例1、[(R＋R0)T/4R]√(R＋R0)/2R；例2、GMm(7d2－8dR＋2R2)/[8d2(d－R/2)]；例3、AD；例4、3.03×103kg/m3；例5、1.2×104；例6、4π2R3/GT2；例7、BD；例8、BD；例9、√(R2gT2/4π2)2/3＋R2－2R(R2gT2/4π2)1/3cosα/c；例10、20m/s；例11、B；例12、AD；例13、⑴2.94×103m，⑵4.01×1026m＝4.24×1010光年；例14、2.73天；练习题：1、人造地球卫星运行时，其轨道半径为月球轨道平均半径的1/3，则此卫星运行的周期大约是（）A．1～4天之间；B．4～8天之间；C．8～16天之间；D．大于16天。第四章曲线运动和万有引力定律52、宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的空间丫中会处于完全失重中，下列说明中正确的是（）A．宇航员仍旧受重力的作用；B．宇航员受力平衡；C．宇航员受的重力正好充当向心力；D．宇航员不受任何作用力。3、有两个大小一样，同种材料组成的均匀球体紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若用上述材料制成两个半径更小的靠在一起的均匀球体，它们间的万有引力将（）A．等于F；B．小于F；C．大于F；D．无法比较。4、设地球的质量为M，赤道半径为R，自转周期为T，则地球赤道上质量为m的物体所受重力的