电子科技大学§2.1正态过程根据中心极限定理,在现实问题中,满足一定条件的随机变量之和的极限服从正态分布.正态分布在现实当中大量存在,是随机现象中最为常见的一种分布.如电子运动中的热噪声,人的身高,考试成绩,测量误差等都服从正态分布正态分布具有一系列良好的性质,便于计算和应用.电子科技大学即对任意的正整数n和t1,t2,…,tn∈T,n维随机变量(Xt1,…,Xtn)都服从正态分布.为研究正态过程的有限维分布,应首先研究多维正态分布随机变量.定义2.1.1随机过程{Xt,t∈T}称为正态过程,如果它的任意有限维分布都是联合正态分布.电子科技大学一、多维正态随机变量1.概率密度与特征函数若(X,Y)~);,;,(222211ρσμσμN则(X,Y)的联合概率密度为221ρ121),(yx2222221121212)(2ρ)()1(21expyyxx,μμ21μ记22212121CyxX其中σ10,σ20,|ρ|1,协方差矩阵满足|C|≠0.电子科技大学(X,Y)的联合概率密度的矩阵形式为221ρ121),(yx2222221121212)(2ρ)()1(21expyyxx)μ()μ(21exp2π1121XXCCT记为(X,Y)~N(μ,C).电子科技大学定义2.1.2设C=(cij)是n阶对称正定矩阵,μ是n维实值列向量,若n维随机向量X=(X1,X2,…,Xn)T的联合密度函数为nxxxf,,,21)μ()μ(21exp2π11212XXCCTn其中X=(x1,x2,…,xn)T,μ=E(X)=(μ1,μ2,…,μn)T(*)则称X服从n维正态分布.电子科技大学记为X=(X1,X2,…,Xn)T~N(μ,C).注当C=(cij)是n阶对称正定矩阵,有;0C若|C|=0则不能用(*)式给出其概率密度.定理2.1.1n维正态分布随机向量X=(X1,X2,…,Xn)T的特征函数为CuuujuTT21μexp)(φ其中TnTnXEuuuu),,,()(,),,,(2121(**)C是X的协方差矩阵.电子科技大学定义2.1.3若μ是n维实向量,C是n阶非负定对称阵,称以(**)式中的为其特征函数的n维随机变量X服从n维正态分布.)(u注若(**)式中的|C|=0,称X服从退化正态分布或奇异正态分布.2.边缘分布及二阶矩以下结论总假定随机向量X=(X1,X2,…,Xn)T服从N(μ,C).非退化电子科技大学定理2.1.2n维正态分布随机变量X的任一子向量)(),,,(21nmXXXTkkkm也服从正态分布其中,)~,μ~(CN,),,,(μ~21mkkkC~是C保留第k1,k2,…,km行及列所得的m阶矩阵.多元正态分布的边缘分布仍是正态分布3.独立性问题定理2.1.3n维正态分布随机向量(X1,X2,…,Xn)相互独立的充要条件是它们两两不相关.等价于其协方差矩阵是对角阵.电子科技大学4.正态随机向量的线性变换定理2.1.4若X=(X1,X2,…,Xn)T服从n维正态分布N(μ,C),K=(kjk)m×n是任意矩阵,则Y=KX服从m维正态分布N(Kμ,KCKT).正态分布的线性变换不变性证对于任意m维实值列向量u=(u1,u2,..um)T,Y=(Y1,Y2,..Ym)T的特征函数为)()(φYYTjueEu)()(21)(μexpuKCuKuKjTTTTT)()(X)(XTuTKjKjueEeET电子科技大学uKCKuuKjTTT)(21)μ(exp即随机向量Y=KX服从m维正态分布N(Kμ,KCKT)推论n维正态随机向量X=(X1,X2,…,Xn)T,记E(X)=μ,协方差矩阵为C.njTjjXlY1X,LL=(l1,l2,…,ln)T服从一维正态分布,且njTjkknkjCcllYD11L,L)(njTjjlYE1,μL)(则X的任意非零线性组合电子科技大学能否保证Y=KX服从非退化正态分布?关于定理2.1.4的思考问题:反例:设随机变量X0与V相互独立,都服从标准正态分布N(0,1),令X1=X0+V,X2=X0+2V,X3=X0+3V,问(X1,X2,X3)是否服从非退化正态分布?电子科技大学分析1)VXKVXXXX00321312111XVX0~1001,00N因X的协方差矩阵为KCKT=3211113121111001TKK故X=(X1,X2,X3)T服从正态分布.电子科技大学|KCKT|=,01074753432X=(X1,X2,X3)T不服从非退化正态分布.求其n维概率分布.解:其一维概率分布由正态分布的可加性直接得到,Ex.2.1.1设随机变量X0与V相互独立,都服从N(0,1),令Xt=X0+tV,t∈RXt~N(0,1+t2).于是可写出其概率密度.电子科技大学由X0,V相互独立知VX0~1001,00N因为VXtsXXts011由正态分布的线性变换不变性得,当s≠t时,(Xs,Xt)T的二维概率分布是非退化正态分布TtstsN11100111,00221111,00tststsN电子科技大学)()(1)()(1)()(1233123312321222123112121ttttttttttttttttttttttt233231322221312121111111111ttttttttttttttt23cc12cc则当,3nVXKVXtttXXXttt00321111321仍然服从正态分布,但其协方差矩阵为电子科技大学3331222111212312111))((ttttttttttttttt0故例中当n2时,不能写出n维联合正态概率密度.一般地,若X=(X1,X2)是非退化二维正态随机向量,其线性变换Y=KX,有1)每一分量服从正态分布;2)不能构成二维以上的非退化联合正态分布;退化,写不出概率密度电子科技大学分析2)设X=(X1,X2)的协方差矩阵为2)(,22212121CRC线性变换矩阵2)(,2221212111KRccccccKmmT则线性变换Y=KX的协方差矩阵为2))(),(min()(,KRCRRKCKYTY即二维以上的线性变换向量Y=KX都是退化(奇异)联合正态分布.电子科技大学问题结论:1)不能保证Y=KX服从非退化正态分布.2)当|KCKT|≠0时,随机向量Y服从非退化正态分布.推论非退化正态分布随机向量X的满秩线性变换仍服从非退化正态分布.可证明K为行满秩矩阵电子科技大学定理2.1.5若随机向量X服从N(μ,C),且C正定,则存在一个正交变换U,使得Y=UX是一个相互独立的正态随机向量.证C为实对称正定矩阵,则存在正交阵U,使nTdddC21DUUdi是C的特征值U是以特征向量为列构成的正交阵令Y=UX,则Y服正态分布N(Uμ,D).Y的协方差矩阵为对角阵,故其分量相互独立.电子科技大学二、正态随机过程定义2.1.1随机过程{Xt,t∈T}称为正态过程,如果它的任意有限维分布都是联合正态分布.即对任意的正整数n和t1,t2,…,tn∈T,n维随机变量(Xt1,…,Xtn)都服从正态分布.注1)上述几个定理均可应用于正态过程.电子科技大学2)若存在某个n,对t1,t2,…,tn∈T,n维随机变量(Xt1,…,Xtn)服从退化正态分布,称{Xt,t∈T}为退化正态过程.3)正态过程的n维分布由其二阶矩完全确定.前面的例2.1.1就是一个退化的正态过程,其三维以上的有限维分布都是退化正态分布.有对任意的n≥1,t1,t2,…,tn∈T,(Xt1,…,Xtn)T~N(μ,C)电子科技大学,)()()(μ21ntmtmtm),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nnnnnnttCttCttCttCttCttCttCttCttCC)]}()][({[),(jjtiitjitmXtmXEttC.),1(nji电子科技大学Ex.2.1.2随机振幅电信号ξ与η相互独立同服从正态分布,RtttXt,sincos设为常数ω,)η()ξ(0,)η()ξ(222EEEE2)写出一维概率密度和二维概率密度.1)试求Xt的均值函数和相关函数;解1)0sinω)(cosω)(}{tηEtξEXEt,故因0)(E电子科技大学)}sincos)(sincos{(),(ssttEtsRstEstEsinsin)(coscos)(22)τ(,)τ(cos)(cosω22tsts.cos0),()(22ttRXDt2)Xt的一维密度为Rxexfxt,2π1)(222电子科技大学Xt是相互独立正态随机变量的线性组合,故(Xs,Xt)服从二维正态分布,其相关系数为coscosω),(),()()(),(22ttRssRtmsmtsR得过程Xt的二维密度为),(21,xxfts,)cos1(2cos2cos1212222212122xxxx.),(221Rxx仅与τ=s-t有关电子科技大学RtYXZttt,证明Zt是正态过程。证对任意正整数n及Rtttn,,21Ex.2.1.3设随机过程{Xt,t∈T}和{Yt,t∈T}相互独立,都是正态随机过程,设TntttXXXX),,,(21TntttYYYY),,,(21思考题:此过程是否是正态过程?可否写出任意n维概率密度?电子科技大学都是n维联合正态随机向量,并相互独立。TntttZZZZ),,,(21的n维特征函数为),,,(21,,,21nZZZuuuφnttt}{][11ntntZuZujeE}{}{][][1111ntntntntYuYujXuXujeeEE}21exp{}21exp{uCuujuCuujYYXX]}[21)(exp{uCuuCuujYXXY}{)]()([111ntntnttYXuYXujeE电子科技大学]})([21)(exp{uCCuujYXXY由特征函数和分布函数的惟一性定理知TntttZZZ),,,(21是正态随机向量.且TntttZZZ),,,(21YXμμ的均值向量为YXCC协方差矩阵为.问题:能否保证是非退化正态过程?电子科技大学实际应用怎样验证随机过程{Xt,t∈T}是正态随机过程?任取n≥1,及t1,t2,…,tn∈T,记X=(Xt1,…,Xtn),1)计算X的n维协方差矩阵C;2)验证C的正定性;算法步骤如下:电子科技大学3)求正交矩阵U,使UCUTndddD214)令Y=UX,Y的协方差矩阵为D;称将X去相关5)检验Y=(Y1,