电学之二磁场电磁感应自主招生解析

大学自主招生物理电学试题选析选练（二）这一次我们讲电学中的磁场和电磁感应部分的内容。同样地，我们重点分析高中范围之外的典型知识。磁场部分我们分析两个问题。一．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动和等距螺旋运动的分析与计算当一个带电粒子q以速度v在磁感强度为B的磁场中运动时，受到的洛仑兹力大小为f＝qvBsinθ式中θ为v与B的夹角。当q沿着B运动时f为零，带电粒子将做匀速运动；当θ＝90o时，带电粒子将做匀速圆周运动，其半径和周期分别为R＝mv/（qB），T＝2πm/(qB)当0＜θ＜900时，带电粒子将做等距螺旋线运动，螺旋半径、周期和螺距分别为R＝mvsinθ/（qB）,T＝2πm/(qB)，h＝2πmvcosθ/（qB）。二．洛仑兹力的应用洛仑兹力的应用包括速度选择器、回旋加速器、质谱仪、磁流体发电、霍尔效应等，下面重点对磁流体发电机的原理进行分析。如图是磁流体发电机．其原理是：等离子气体喷入磁场，正、负离子在洛仑兹力作用下发生上下偏转而聚集到A、B板上，产生电势差。设A、B平行金属板的面积为S，相距为d，等离子气体的电阻率为ρ，喷入气体速度为v，板间磁场的磁感强度为B，板外电阻为R。当等离子气体匀速通过A、B板间时，A、B板上聚集的电荷最多，板间电势差最大，即为电源电动势。当电场对离子作用力与洛仑兹力互相抵消时，离子受力平衡：Eq＝Bqv。则E＝Bv。电源电动势E’＝Ed＝Bdv。，电源内阻，所以通过R的电流【例1】（同济2009）磁流体发电机的工作原理如图所示。截面为矩形的管道长为l，宽为a，高为b，上、下两个侧面是绝缘体，相距为a的两个侧面是电阻可略的导体，这两个侧面与负载电RL相连。整个管道处于匀强磁场区域，B垂直于上、下侧且指向上方。管道内沿长度方向有电阻率为ρ的电离气体，气体流速处相同，所受摩擦阻力的大小与流速成正比。今在管的两端维持恒定的压强差p，设无磁场时气体的流速为v。。试求有磁场存在时，此发电机的电动势E。解析：无磁场存在时，两端压力差为△F＝pab摩擦力为f0＝kv式中a为某一比例常量。压力差与摩擦力平衡，即f0＝△F得有磁场存在时，磁流体（即电离气体）在a的宽度上切割磁感线，产生感应电动势E和感应电流I。磁流体中宽度方向垂直于电流I，因而会受到与运动速度v反向的安培力F安，此力与摩擦阻力f的合力将使v小于v。。平衡时，有E=Bav,，，其中，最后得【例2】（北大2006）如图所示，水平面上放有质量为m，带电+q的滑块，滑块和水平面间的动摩擦系数为μ，水平面所在位置有场强大小为E、方向水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场。若，物块由静止释放后经过时间t离开水平面，求这期间滑块经过的路程s.解析：开始滑块向右加速，获得向右速度后另外受到竖直向上的洛仑兹力作用，导致滑块所受到的滑动摩擦力变小，做加速运动的加速度相应变大。对滑块考察一微小时间Δt，利用动量定理vmtBqvmgtqE)(对上式累计求和，可得mmvBqsmgtqEt而物体离开水平面时满足mgBqvm联立解得：2222qBBEtqmgtBqgms【例3】（同济2008）回旋加速器中匀强磁场的磁感应强度B=1T，高频加速电压的频率f=7.5×106Hz，带电粒子在回旋加速器中运动形成的粒子束的平均电流I=1mA，最后粒子束从半径R=1m的轨道飞出，如果粒子束进入冷却“圈套”的水中并停止运动，问可使“圈套”中的水温升高多少度?设“圈套”中水的消耗量m=1kg/s，水的比热容c=4200J/（kg·K）解析：粒子在盒内运动有RvmBqv2，Rvf2得：Bfmq2EB设单位时间内飞出回旋加速器的粒子数为N，则NqI粒子束功率fIBRmvNP2221由热平衡条件得tcmP升温6.52cmfIBRtK电磁感应部分的内容主要包括楞次定律、法拉第电磁感应定律、交流电和变压器等方面的规律，这里主要分析一下电磁感应中感生电动势和动生电动势两种情况的规律。三．感生电动势与动生电动势电磁感应现象包括两类情况：感生电动势和动生电动势。1.感生电动势感生电动势是闭合回路中因磁通量变化产生了感生电场，感生电场产生“非静电力”推动自由电荷定向移动，从而形成了电动势。其值为2.动生电动势导体棒切割磁感线产生动生电动势，其值为：E＝Blv式中B、v和导体棒所在的方向l要两两垂直，否则要进行分解或投影。动生电动势来源于金属内运动着的自由电子所受的洛仑兹力做功，可是洛仑兹力不做功，这个矛盾如何解释？如图所示，金属杆ab在匀强磁场中以恒定的速度向右做匀速运动，在导体棒ad上就出现了动生电动势。由右手定则可知，在导体棒上电流的方向是由d流向a的。设导体棒上有一个自由正电荷q（实际上则是自由电子导电），v⊥是q沿导线移动方向的速度，v∥与v⊥的矢量和是v。q所受的洛仑兹力为f，可将f分解为沿着导体棒的分力f∥和垂直于棒的分力f⊥，其中f∥属于与电动势相对应的非静电力，而f⊥则属于安培力。当这个感应电动势出现并做正功时，安培力也随之出现并做负功，该装置将机械能转化为电能，而且能量守恒。3.如果一个问题中感生电动势和动生电动势同时存在，则回路中总的感应电动势是二者合成的结果。计算时要注意电动势的方向（电动势的方向定义为从负极经电源内部指向正极，电动势是标量）。【例4】（清华2008）如图所示，半径为R的圆形区域内有随时间变化的匀强磁场，磁感应强度B随时间t均匀增加的变化率为k(k为常数），t=0时的磁感应强度为B。，B的方向与圆形区域垂直如图，在图中垂直纸面向内。一长为2R的金属直杆ac也处在圆形区域所在平面，并以速度v扫过磁场区域。设在t时刻杆位于图示位置，此时杆的ab段正好在磁场内，bc段位于磁场之外，且ab＝bc＝R，求此时杆中的感应电动势。解析：感生电动势由Eba、Ecb两部分组成，则所以动生电动势为所以总电动势为注：本题中在计算bc两端的感应电动势时，也要连圆心O和b、c两点，同样在Ob、Oc上不会有感应电动势。同时在求总的感应电动势时，要注意正、负。【例5】（上海交大2009）如图所示，阻值为R，质量为m，边长为l的正方形金属框位于光滑水平面上。金属框的ab边与磁场边缘平行，并以一定的初速度进入矩形磁场区域，运动方向与磁场边缘垂直。磁场方向垂直水平面向下，在金属框运动方向上的长度为L(Ll）。已知金属框的ab边进入磁场后，框在进、出磁场阶段中的运动速度与ab边在磁场中的位置坐标之间关系为v=v0－cx(xl），式中c为未知的正值常量。若金属框完全通过磁场后恰好静止，求：（1）磁场的磁感应强度；（2）从线框进入磁场区域到线框ab边刚出磁场区域的运动过程中安培力所做的功解析：（1）设x＝l时线框速度为v1，在线框进入磁场中，由动量定理，得即BlQ＝mv0－mv1，其中Q为通过线框的电量，而Q＝①线框在磁场中匀速运动，出磁场过程中，由动量定理，得即由①，得(2)按照对称性，线框进出磁场过程中速度的减小是相同的，即ab边刚出磁场时的速度为v0/2。故所求安培力的功为【真题选练】1．（清华2011样题）如图所示，空间存在一有理想边界的条形匀强磁场区域，磁场方向与竖直平面（纸面）垂直。一个质量为m、边长为l的刚性正方形导线框，在此平面内沿竖直方向运动。t=0时刻导线框的上半部分恰好进入磁场，速度为v0。经历一段时间后，当导线框上边离开磁场距磁场边界距离为l/2时，速度刚好为零。此后，导线框下落，经过一段时间到达初始位置。则（）A．在上升过程中安培力做的功比下落过程中的少B．在上升过程中重力冲量的大小比下落过程中的大C．在上升过程中安培力冲量的大小与下落过程中的相等D．在上升过程中导线框电阻消耗的电能比下落过程中的大2.（同济大学09）如图所示，金属架平面与水平面平行，质量为m、长度为L的硬金属线ab的两端用绝缘线吊着并与框接触，处在匀强磁场中。当闭合开关s时，ab通电随即摆起的高度为h，则在通电的瞬间，通过导体截面的电荷量Q=________.3.（清华2011）如图，空间某区域内存在着匀强磁场，磁场的上下边界水平，方向与竖直平面（纸面）垂直。两个由完全相同的导线制成的刚性线框a和b,其形状分别是周长为4l的正方形和周长为6l的矩形。线框a和b在竖直面内从图示位置自由下落。若从开始下落到线框完全离开磁场的过程中安培力对两线框的冲量分别为Ia、Ib，则Ia：Ib为（）A.3:8B.1:2C.1:1D.3:24.（东南大学08）如图所示的空间，匀强电场的方向竖直向下，场强为E，匀强磁场的方向水平向外，磁感应强度为B。有两个带电小球A和B都能在垂直于磁场方向的同一竖直平面内做匀速圆周运动（两小球间的库仑力可忽略），运动轨迹如图。已知两个带电小球A和B的质量关系为BAmm3，轨道半径为93BARRcm.（1）试说明小球A和B带什么性质的电荷，它们所带的电荷量之比BAqq:等于多少？（2）指出小球A和B的绕行方向和速度大小之比（3）设带电小球A和B在图示位置P处相碰撞，且碰撞后原先在小圆轨道上运动的带电小球B恰好能沿大圆轨道运动，求带电小球A碰撞后所做圆周运动的轨道半径（设碰撞时两个带电小球间电荷量不转移）5、（清华2010）匀强磁场中有一长方形导线框，分别以相同的角速度绕图a、b、c、d所示的固定转轴旋，用Ia、Ib、Ic、Id表示四种情况下线框中电流的有效值，则（）A．Ia=IdB．IaIbC．IbIcD．Ic=Id6．（清华2010）如图，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以同样的速率通过P点进入磁场。这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的1/3。将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2，结果相应的弧长变为原来的一半，则B2／B1等于（）A.2B.3C．D．7.(交大外地2009）如图所示，一磁感应强度为B的均匀磁场，分布在半径为R的长圆柱形区域内，设B=B。t(B。＞0）。现有一半径也为R，电阻均匀分布且总电阻为r的金属圆环，放在垂直于磁场的平面内，金属圆环中心在均匀磁场的对称轴上。a和b为金属圆环上相距为R的两点，则两点间的电势差φa－φb＝_______。（设感应电流所产生的磁场可以忽略）8．(同济2009)如图所示，一矩形管长为l，宽为a，高为b,相距为a的两个侧面是导体，上下平面是绝缘体。现将两个导体平面用导线短路，使磁感应强度为B的匀强磁场垂直于上下平面，有电阻率为ρ的水银通过矩形管，如果水银通过管子的速度v和加在管两端的压强差成正比。如果无磁场时，在压强差为p时水银的速度为v。当加在管上的压强差为p且有磁场时，求水银的流速v。9.（东南2009）如图所示，阻值为R的电阻串于光滑的等边三角形水平导轨OPQ上，导轨在O点断开。磁感应强度为B、方向竖直向下、宽度为d的条形磁场区域与PQ平行，质量为m的导体棒连接在劲度系数为k的弹簧的一端，弹簧的另一端固定。导体棒始终与PQ平行，且与导轨保持良好接触。弹簧无伸长时，导体棒停于M处。现将导体棒拉至N处后自由释放，若M至顶点O，以及M、N到磁场边沿的距离均为d，导轨和导体棒的阻值忽略不计，求：（1）计算导体棒释放后，第一次穿越条形磁场区域过程中，电阻R中通过的电荷量q。（2）整个过程中，电阻R中最多能产生的焦耳热Q。【参考答案】1.CD2.金属棒通电后由于安培力的冲量作用获得动量，根据动量定理00mvBLQtIBLtBIl金属棒脱离金属架平面后摆起，根据机械能守恒2021mvmgh故：ghBLmBLmvQ203.A4.（1）因为两带电小球都在复合场中做匀速圆周运动，故必有qE=mg，由电场方向可知，两小球都带负电荷，则EqgmAA，EqgmBB所以：3BABAmmqq（2）两小球都带负电荷，轨道在垂直磁场的同一平面内，用左手定则可以判断两带电小球的绕行方向都相同。由：RmvqvB2得：mBq