第三章 一元函数积分学

1第三章一元函数积分学一．不定积分例1：设2ln)1(222xxxf，且xxfln)]([，求dxx)(（答案：Cxx1ln2）例2：已知xxsin是)(xf的一个原函数，求dxxfx)('3（答案：Cxxxxxcos6sin4cos2）例3：设00,sin,)(2xxxxxf，求dxxf)(例4：设)(xF是)(xf的一个原函数，42)1(F，若当0x时，有)1(arctan)()(xxxxFxf，求)(xf。（答案：)1(21)(xxxf）例5：求dxxx)1,,max(23例6：求dxeexx2arctan二．定积分例1：求极限nnnn212111lim例2：设)(xf在]1,0[上连续，且0)(10dxxf，试证明存在0)1()()1,0(ff使。例3：已知)0()1ln()(1xdtttxfx，求xfxf1)(（答案：x2ln21）2例4：设函数)(xf连续，且,arctan21)2(20xdttxtfx已知1)1(f，求21)(dxxf的值。（答案：43）例5：已知22110,1,ln,sin)(xxxxxxxf求xdttfxI0)()(例6：求积分xxdttxgtfxI0)0()()()(，其中当0x时xxf)(，而220,0,sin)(xxxxg例7：设)(xf在],[ba上连续，且0)(xf，证明badxxf)(2)()(1abdxxfba例8：设)('xf在]1,0[上连续，求证101010)(,)('max)(dxxfdxxfdxxf例9：设)(xf在]1,0[上连续，且0)(xf，0)1(f，求证：存在0)()()1,0(dxxff使例10：设)(xf是在),(内的周期函数，周期为T，并满足)),,(,()()()1(为常数其中LyxyxLyfxf；0)()2(0Tdxxf求证：LTxfTx21)(max],0[例11：设函数)(xf在],[ba上具有连续的二阶导数，证明在),(ba内存在一点，使得)('')(2412)()(3fabbafabdxxfba3例12：设函数)(),(xgxf在区间)0](,[aaa上连续，)(xg为偶函数，且)(xf满足)()()(为常数AAxfxf，（1）证明aaadxxgAdxxgxf0)()()(；（2）利用（1）的结论计算22arctansindxexx例13：计算定积分：4421sindxexx（答案：)2(81）例14：计算定积分：0)arctan(cosdxx例15：试证连续函数)(xf是周期函数的充分必要条件是：存在0T，使对一切的x，有Txxdttf)(Tdttf0)(例16：计算定积分：ndxx02sin1（答案：n22）例17：)(xf是以T为周期的连续函数，证明：xxdttfxF0)()(或是以T为周期的周期函数，或是线性函数与周期函数的和。例18：计算10)(dxxxfI，其中xtdtexf12)(例19：设)(),(xgxf在],[ba上连续，且满足),[,)()(baxdttgdttfxaxababadttgdttf)()(证明：babadxxxgdxxxf)()(（2004年数学三）例20：设)(),(xgxf在]1,0[上的导数连续，且0)('0)(',0)0(xgxff，.证明：4对任何]1,0[a，有adxxfxg0)(')(10)1()()(')(gafdxxgxf例21：设)(xf在],[ba上一阶可导，Mxf)('，且0)(badxxf。证明：当],[bax时，Mabdttfxa2)(81)(例22：设)(xf是区间),0[上单调减少且非负的连续函数，),3,2,1()()(11ndxxfkfannkn，证明数列}{na的极限存在。例23：设)(xf在]1,0[上连续，对任意的yx,都有yxMyfxf)()(，证明nMnkfndxxfnk2)(1)(101例24：设)(xf在],[ba上连续，且0)(xf，证明：babadxxfabdxxfab)(ln1)(1ln例25：设)(xF是连续函数)(xf的一个原函数，“NM”表示“NM的充分必要条件是”，则必有（A）)(xF是偶函数)(xf是奇函数。（B）)(xF是奇函数)(xf是偶函数。（A）)(xF是周期函数)(xf是周期函数。（A）)(xF是单调函数)(xf是单调函数。（答案：（A））(2005年数学一)例25：设)(xf是连续函数（Ⅰ）利用定义证明函数xdttfxF0)()(可导，且)()('xfxF5（Ⅱ）当)(xf是以2为周期的周期函数时，证明函数200)()(2)(dttfxdttfxGx也是以2为周期的周期函数.(2008年数学一)三．广义积分例1：求dxxx03)1(例2：求dxexexx02)1(例3：求dxxx02arctan例4：求xdttxx0sinlim（答案：2）四．定积分的应用例1：求由)0(12222babyax与xy围成的图形面积（两部分都要计算）。（答案：,arctanbaab),arctan(baab）例2：过点)0,1(P作抛物线2xy的切线，该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形，求此图形绕x轴旋转所成旋转体的体积。例3：设直线axy与抛物线2xy所围成的图形面积为1S，它们与直线1x所围成的面积为2S，并且1a。（1）试确定a的值，使21SS达到最小，并求出最小值；（答案：622,21）（2）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。（答案：3012）例4：设平面图形A由xyx222与xy所确定，求图形A绕直线2x轴旋转一6周所得旋转体的体积。（答案：3222）例5：将抛物线axxy2在横坐标c与0之间（0ac）的弧段绕x轴旋转，问c为何值时，该旋转体的体积V等于以弦OP绕x轴旋转所成锥体的体积锥V？例6：过坐标原点作曲线xyln的切线，该切线与曲线xyln及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A.（答案：121e）(2)求D绕直线ex旋转一周所得旋转体的体积V.（答案：)3125(62ee）例7：曲线2xxeey与直线)0(,0ttxx及0y围成一曲边梯形。该曲边梯形饶x轴旋转一周得一旋转体，其体积为)(tV，侧面积为)(tS，在tx处的底面积为)(tF。（）求)()(tVtS的值；（答案：2）（II）计算极限)()(limtFtSt（答案：1）（2004年数学二）