第三章-量子力学中的力学量lt

第三章例题剖析1一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是ILH22，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数。（1）转子绕一固定轴转动（2）转子绕一固定点转动[解]：（1）iLzˆ22222ˆˆzLL2222222ˆ2ˆˆIILILHz能量的本征方程：)()(ˆEH，or)()(2222EI引入222IE0)()(222ddiAe)(由波函数的单值性)()2(iiAeAe)2(12ien22n,2,1,0nInEn222，inAe其中21A（2）ILH2ˆˆ2，在球极坐标系中22222sin1sinsin1ˆL体系的能量算符本征方程：),(),(ˆEH),(),(sin1sinsin122222EI),(),(sin1sinsin1222其中22IE，以上方程在0的区域内存在有限解的条件是必须取)1(ll，),2,1,0(l，即)1(ll,2,1,0l于是方程的形式又可写成),()1(),(sin1sinsin1222ll此方程是球面方程，其解为),(),(lmYlml,,2,1,0,2,1,0由)1(ll及IE2，可解得体系的的能量本征值IllEl2)1(2,2,1,0l2氢原子处于32121113,,,,,,44rrr状态，求：（1）归一化波函数（2）能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值；（3）角动量平方有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值；（4）角动量的z分量有无确定值？如果有，求其确定值。解：（1）求归一化波函数201,,rd22321211013,,,,44Arrd2219522161685AAA32121113,,,,,,1010rrr（2）能量无确定值可能取值：443222,188sseeEE概率：2232131010CC平均值：4223322217144seECECE（3）角动量平方无确定值可能取值：22221111概率：2232131010CC平均值：2222222112625LCC（4）有确定值。其值为。3．求粒子处在态lmY时角动量的x分量和角动量y分量的平均值yxLL,；并证明：22222)(2)()(mllLLyx[解](方法一)：（1）先证明两个普遍的关系：1,)1)(()ˆˆ(mllmyxYmlmlYLiL可以用两种方法来证明。（a）从角动量算符Lˆ所满足的对易关系出发：LiLLˆˆˆ或zxyyxxyzzyyzxxzLiLLLLLiLLLLLLLLLˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ由一式与二式乘i后相加减可得：)ˆˆ(ˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆyxzyxyxzLiLLLiLLiLL或)ˆ)(ˆˆ()ˆˆ(ˆzyxyxzLLiLLiLL用算符)ˆˆ(ˆyxzLiLL对lmY运算得：lmyxlmzyxlmyxzYLiLmYLLiLYLiLL)ˆˆ()1()ˆ)(ˆˆ()ˆˆ(ˆ另外，注意到2ˆL和zyxLLLˆ,ˆ,ˆ均可对易，故有：22ˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆLLiLLiLLyxyx所以lmyxlmyxlmyxYLiLllYLLiLYLiLL)ˆˆ()1(ˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆ222从上面二式可见lmyxYLiL)ˆˆ(既是zLˆ的本征函数，本征值为)1(m，又是2ˆL的本征函数，本征值为2)1(ll，亦即lmyxYLiL)ˆˆ(，具有1,mlY的形式。令1,)ˆˆ(mllmyxYCYLiL它的共轭复式是1)ˆˆ(****lmlmyxYCYLiL二式相乘，对,积分，再注意到mlY,的正交性，得：dYLiLYLiLClmyxlmyx**2)ˆˆ()ˆˆ(dYLiLLiLYlmyxyxlm)ˆˆ()ˆˆ(*)ˆˆ(ˆˆ)ˆˆ(yxyxyxLiLiLLLiLdYLiLLiLYClmyxyxlm)ˆˆ)(ˆˆ(*2dYLLLLiLLYlmxyyxyxlm)ˆˆˆˆ(ˆˆ22*dYLLLYlmzzlm)ˆˆˆ(22*222)1)(()1(mlmlmmll1,)1)(()ˆˆ(mllmyxYmlmlYLiL（b）用直接求微分的方法证明cossinˆctgiLxsincosˆctgiLyictgeLiLiyxˆˆictgeLiLiyxˆˆ而immllmePmllmlY)(cos)!(4)12()!(；其中)(cos)(cossin)(coslmmmmlpddp故)(cos)(coscossin)ˆˆ(1lmmmlmyxpddmyLiL))(cos)(cossinsin)(cos)(cossin11impddictgpddlmmmlmmm)!(4)12()!()1(mllmlemi)!1(4)12()!1()1)(()ˆˆ(mllmlmlmlYLiLlmyx1,)1(111)1)(()(cos)(cossinmlmilmmmYmlmlepdd同样，对yxLiLˆˆ也有1111)(cossin)(cos)(coscossin)ˆˆ(mmmlmmmlmyxddpddmYLiL)!(4)12()!())((cos)(cossin)(cos)1(mllmleimpddictgpmilmmml)(cos)(cossinsin)!1(4)12()!1()1)((1121lmmmpddmllmlmlml)1()(cos)(coscos2milmmepddm)1)((sin)!1(4)12()!1()1)((1mlmlmllmlmlmlm1,)1(11)1)(()(cos)(cosmlmilmmYmlmlepdd其中)(cos)(coscos2)(cos)(cossin112lmmlmmpddmpdd)()1)(()(2)()1(11112lmmlmmlmmpddmlmlpddmpdd可证明如下：因为勒襄德多项式)()(cosllpp满足方程0)1()1(2llpllddpdd对上式求微商1m次后得到0)1()1(1112mlmmmdpdllddpdd或0)1()1(2)1(11111112lmmmmmlmlmmpddllpddmmdpdmpdd故有lmmmlmlmmpddmlmldpdmpdd11112)1)((2)1(（2）现在来求xL和yL注意到lmY的正交性，亦即0sin*ddYYlmlm令ddYLiLYiLLlmyxlmyxsin)ˆˆ(*0sin)1)((1,*ddYmlmlYmllm同理可知0yxiLL故00yxLL（3）lmyxlmyxxlmxYLiLYLiLLYL)ˆˆ(21)ˆˆ(21ˆˆ21,1,)1)((2)1)((2ˆmlmlxYmlmlYmlmlLlmmlYmlmlYmlmlmlml)1)((21)1)(2(21)1)((22,22,2)2)(1(21)1)((21)1)((2mllmYmlmlYmlmlmlml注意到lmY的正交性，得：)1)(()1)((4sinˆ22*2mlmlmlmlddYLYLlmxlmx)(2222mll同理可证：)(22222mllLy故)(2)(22222mllLLLxxx)(2)(22222mllLLLyyy(方法二)：在固定z轴不变的情况下，进行坐标旋转，把原来的y轴变为x轴，仍然保持右旋坐标，这时角不变，唯一的改变是变为，注意到x和y的对称性，不难由yxLLˆ,ˆ在球坐标中的算符表示式看出22yxLL)(2)1(21)(212222222222mllmllLLLLzyx而0yxLL)(2)(222222mllLLLxxx)(2)(222222mllLLLyyy讨论：①为了证明0;0yxLL，我们还可以用下面两种简单方法：（a）设),(lmY为zLˆ的本征态，则有),(),(ˆlmlmzYmYL而xyzzyLiLLLLˆˆˆˆˆ故dYLLYdYLLiLLLLiLlmyzlmlmzylmyzzyxˆˆˆˆ1ˆˆˆˆ1**dYLYLdYLYmilmylmzlmylmˆ)ˆ(ˆ1**0ˆˆ1**dYLYmdYLYmilmylmlmylm同理，因为yzxxzLiLLLLˆˆˆˆˆ，可以证明0yL（b）利用测不准来证明0,0yxLL令xyyLCLBLAˆˆ,ˆˆ,ˆˆ则显然BAˆ,ˆ都是厄密算符，BAˆ,ˆ的对易关系为：CiABBAˆˆˆˆˆ就是角动量分量之间所必须满足的对易关系xyzzyLiLLLLˆˆˆˆˆ利用4)()(222CBA得出4)()()(222xzyLLL由于态),(lmY是zLˆ的本征态，在本征态中测量力学量zL有确定值，即力学量zL在),(lmY态在平均平方偏差2)(zL必须为零。故有0)(2zL要保证不等式4)()()(2222xzyLLL成立，考虑到2)(xL为非负的数，所以必须是0xL。同理，只须利用yzxxzLiLLLLˆˆˆˆˆ，也可以证明0yL②在(方法二)中，不从物理上考虑，直接从对易关系出发，也很容易证明22yxLL注意到yzzyxLLLLLiˆˆˆˆˆ即)ˆˆˆˆ(1ˆyzzyxLLLLiL左乘xLˆ得：)ˆˆˆˆˆˆ(1ˆ2yzxzyxxLLLLLLiLdYLLLYdYLLLYiLlmyzxlmlmzyxlmxˆˆˆˆˆˆ1**2dYLLLYdYLLYmilmyzxlmlmyxlmˆˆˆˆˆ1**利用)ˆˆˆˆ(1ˆzxxzyLLLLiL右乘yL