第三章2003

第三章中值定理与导数的应用表3-1中值定理罗尔中值定理若fx满足1）闭区间［］,ab上连续，2）在,ab内可导，3）且fafb，则至少存在一点()ab,使得0fξ.拉格朗日中值定理若fx满足1）闭区间［］,ab上连续，2）在,ab内可导则至少存在一点()ab,使得()()fbfafba。推论1若函数()fx在区间I上的导数恒为零，则()fx在区间I上为一常数.推论2函数()fx在区间I可导，若对，xIfxgx，则f(x)=g(x)+C.对任意xI成立，其中C为常数.柯西中值定理若,fxgx满足1）［,］ab上连续2）在,()ab内可导，且0gx，则至少存在一点()ab,使得()()()()()()fbfafξgbgagξ.几何意义同上表3-2洛比塔法则00型或型设，fxgx满足：(1)0lim0xxfx，0lim0xxgx；（或0limxxfx，0limxxgx）(2)在0Ux内可导，且0gx；(3)0limxxfxgx存在(或为)，则00limlimxxxxfxfxgxgx其他不定型转成00型或型1）00001100或====2）2112121211101110-1-=-==3）ln101ee=4）00ln000ee=5）00ln0ee=表3-3函数单调性的判别法设fx在闭区间［,］ab上连续，在,()ab内可导，(1)若,()xab，有＞0fx，则fx在［,］ab上严格单调增加.(2)若,()xab，有＜0fx，则fx在［,］ab上严格单调减少.表3-4极值与驻点的概念极值与极值点设fx在0Ux内有定义，若0xxU，有1）＜0fxfx，则称fx在0x点取得极大值；2）＞0fxfx，则称fx在0x点取得极小值。极大值与极小值统称极值，取到极值的点称为极值点。驻点导数为零的点称为驻点。表3-5极值的判断法必要条件设函数fx在某区间I内有定义，在该区间内的点0x处取极值，且0fx存在，则必有00fx.（极值点要么是驻点要么是导数不存在的点）第一充分条件设fx在0x处连续，在0Ux内可导，(1)若0xUx，＞0fx，0xx，＜0fx，则fx在0x取得极大值；(2)若0xUx，＜0fx，0xx，＞0fx，则fx在0x取得极小值.第二充分条件设fx在0Ux内具有二阶导数，且,0000fxfx，则(1)当00fx时，fx在0x取极大值；(2)当00fx时，fx在0x取极小值.表3-6函数的最值问题闭区间［,］ab上连续函数的最值基本步骤：1）解方程00fx，记根为12,,,nxxx；2）求得导数不存在的点12,,,nyyy；3）比较函数值ifx，jfy，以及端点的值,()fafb，其中最大的为fx（）的最大值，最小的为fx（）的最小值实际问题的最值若目标函数在定义区间内有惟一驻点0x，则0fx即为所求最值。表3-7函数的凹与凸的概念及判别法定义设fx在区间I上连续，如果对I上任意两点12,xx，恒有1）1212()()22xxfxfxf，那么称fx在I上的图形是凹的；2）1212()()22xxfxfxf，那么称fx在I上的图形是)凸的。判别法设fx在［,］ab上连续，在,()ab内具有一阶和二阶导数，那么1)若在,()ab内0fx［,］ab上的图形是凹的；2)若在,()ab内0fx［,］ab上的图形是凸的.表3-8曲线的拐点定义曲线的凹与凸的分界点称为曲线的拐点。求法若00,()xfx（是曲线yfx的拐点，且fx存在，则0fx。判别法若在0x左、右两侧fx改变正负号，则,00xfx是曲线的拐点。若在0x左、右两侧fx不变号，则,00xfx不是曲线的拐点.