第三章3.3.2简单的线性规划问题

3．3.2简单的线性规划问题(一)课时目标1．了解线性规划的意义．2．会求一些简单的线性规划问题．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式或方程线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题一、选择题1．若实数x，y满足不等式组x＋3y－3≥0，2x－y－3≤0，x－y＋1≥0，则x＋y的最大值为()A．9B.157C．1D.715答案A解析画出可行域如图：当直线y＝－x＋z过点A时，z最大．由2x－y－3＝0，x－y＋1＝0得A(4,5)，∴zmax＝4＋5＝9.2．已知点P(x，y)的坐标满足条件x＋y≤4，y≥x，x≥1，则x2＋y2的最大值为()A.10B．8C．16D．10答案D解析画出不等式组对应的可行域如下图所示：易得A(1,1)，|OA|＝2，B(2,2)，|OB|＝22，C(1,3)，|OC|＝10.∴(x2＋y2)max＝|OC|2＝(10)2＝10.3．在坐标平面上有两个区域M和N，其中区域M＝x，y|y≥0y≤xy≤2－x，区域N＝{(x，y)|t≤x≤t＋1,0≤t≤1}，区域M和N公共部分的面积用函数f(t)表示，则f(t)的表达式为()A．－t2＋t＋12B．－2t2＋2tC．1－12t2D.12(t－2)2答案A解析作出不等式组y≥0y≤xy≤2－x所表示的平面区域．由t≤x≤t＋1,0≤t≤1，得f(t)＝S△OEF－S△AOD－S△BFC＝1－12t2－12(1－t)2＝－t2＋t＋12.4．设变量x，y满足约束条件x－y＋2≥0，x－5y＋10≤0，x＋y－8≤0，则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为()A．3，－11B．－3，－11C．11，－3D．11,3答案A解析作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z＝3x－4y经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值．易求A(3,5)，B(5,3)．∴z最大＝3×5－4×3＝3，z最小＝3×3－4×5＝－11.5设不等式组x≥1，x－2y＋3≥0y≥x，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，则|AB|的最小值为()A.285B．4C.125D．2答案B解析如图所示．由约束条件作出可行域，得D(1,1)，E(1,2)，C(3,3)．要求|AB|min，可通过求D、E、C三点到直线3x－4y－9＝0距离最小值的2倍来求．经分析，D(1,1)到直线3x－4y－9＝0的距离d＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴|AB|min＝4.二、填空题6．设变量x，y满足约束条件x＋y≥3，x－y≥－1，2x－y≤3.则目标函数z＝2x＋3y的最小值为________．答案7解析作出可行域如图所示．由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z有最小值，z的最小值为7.7．已知－1x＋y4且2x－y3，则z＝2x－3y的取值范围是________．(答案用区间表示)答案(3,8)解析由－1x＋y4，2x－y3得平面区域如图阴影部分所示．由x＋y＝－1，x－y＝3得x＝1，y＝－2.由x＋y＝4，x－y＝2得x＝3，y＝1.∴2×3－3×1z＝2x－3y2×1－3×(－2)，即3z8，故z＝2x－3y的取值范围是(3,8)．8．已知实数x，y满足x＋2y－5≤0，x≥1，y≥0，x＋2y－3≥0，则yx的最大值为________．答案2解析画出不等式组x＋2y－5≤0，x≥1，y≥0，x＋2y－3≥0对应的平面区域Ω，yx＝y－0x－0表示平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率．A(1,2)，B(3,0)，∴0≤yx≤2.三、解答题9．线性约束条件x＋3y≥12x＋y≤103x＋y≥12下，求z＝2x－y的最大值和最小值．解如图作出线性约束条件x＋3y≥12x＋y≤103x＋y≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交于点A(3,3)，x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1)，x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9)，作一组与直线2x－y＝0平行的直线l：2x－y＝z，即y＝2x－z，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为－z，当l经过点B时，－z取最小值，此时z最大，即zmax＝2×9－1＝17；当l经过点C时，－z取最大值，此时z最小，即zmin＝2×1－9＝－7.∴zmax＝17，zmin＝－7.10．已知2x＋y－5≥03x－y－5≤0x－2y＋5≥0，求x2＋y2的最小值和最大值．解作出不等式组2x＋y－5≥03x－y－5≤0x－2y＋5≥0的可行域如图所示，由x－2y＋5＝02x＋y－5＝0，得A(1,3)，由x－2y＋5＝03x－y－5＝0，得B(3,4)，由3x－y－5＝02x＋y－5＝0，得C(2,1)，设z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B的距离最大，注意到OC⊥AC，∴原点到点C的距离最小．故zmax＝|OB|2＝25，zmin＝|OC|2＝5.能力提升11．已知实数x，y满足x－y＋6x＋y－6≥01≤x≤4，求x2＋y2－2的取值范围．解作出可行域如图，由x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x＋y－6＝0的距离的平方，即|OP|2，最大值为|OA|2，其中A(4,10)，|OP|＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32，|OA|＝42＋102＝116，∴(x2＋y2－2)min＝(32)2－2＝18－2＝16，(x2＋y2－2)max＝(116)2－2＝116－2＝114，∴16≤x2＋y2－2≤114.即x2＋y2－2的取值范围为16≤x2＋y2－2≤114.12．已知实数x、y满足2x＋y－2≥0x－2y＋4≥03x－y－3≤0，试求z＝y＋1x＋1的最大值和最小值．解由于z＝y＋1x＋1＝y－－1x－－1，所以z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，因此y＋1x＋1的最值就是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，结合图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，即zmax＝kMB＝3，此时x＝0，y＝2；zmin＝kMC＝12，此时x＝1，y＝0.∴z的最大值为3，最小值为12.1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．