第三章_二维随机变量及其概率分布要点

第三章《二维随机变量及其概率分布》要点一、二维随机变量（X,Y）的联合分布函数以及它的边缘分布.(二维随机变量（X,Y）的联合分布函数),(yxF对离散型和连续型随机变量都适用)1、联合分布函数),(yxF的定义：},{),(yYxXPyxF，一个带有变量yx,的，特定事件},{yYxX的概率，因此它具有事件概率的属性。2、),(yxF有如下性质：（1）0),(yxF1（2）),(yF=0；),(xF=0；),(F=0；),(F=13、分量X,Y的各自的分布称为边缘分布函数分量X的边缘分布函数)(xFX),(xF即让y取一切值的分布函数分量Y的边缘分布函数)(yFY),(yF即让x取一切值的分布函数二、二维离散型随机变量(X,Y)联合分布律和边缘布分布律1、联合分布率：以如下具体例子加以说明：YX01210.20.10.120.20.30.1它就是一个二维离散型随机变量(X,Y)联合分布律，它反映了：（1）X可以取值1，2；Y可以取值0，1，2（2）给出了(X,Y)各种取值组合的概率，如P(X=1,Y=2)=0.1；P{X=2,Y=1}=0.3分布率性质：10ijP；1jiijP（3,2,12,1ji）2、边缘布分布律（还是以上例说明）YX012iP10.20.10.10.2+0.1+0.1=0.420.20.30.10.2+0.3+0.1=0.6jP0.2+0.2=0.40.1+0.3=0.40.1+0.1=0.21表格最右边iP是X的边缘分布率:它表示P{X=1}=0.4,P{X=2}=0.6表格最下边jP是Y的边缘分布率它表示P{Y=0}=0.4,P{Y=1}=0.4,P{Y=2}=0.2三、二维连续型随机变量(X,Y)联合密度函数),(yxf1、性质:（1）),(yxf0（2）dxdyyxf),(=1（具体积分上下限要看具体题目）2、（1）X边缘密度函数)(xfX=dyyxf),(（2）Y边缘密度函数)(yfY=dxyxf),(3、连续型随机变量(X,Y)的分布函数和密度函数的关系：yxyxF),(2=),(yxfyxyxF),(2是对二维函数求偏导数的符号。具体方法是对函数F(x,y)将x看作变量,y看作常数求一次导数，再对求出的结果将y看作变量,x看作常数求一次导数。如对F(x,y)=32yx，求yxyxF),(2：将x看作变量，y看作常数求一次导数：（32yx)=xy32，再对求出的结果将y看作变量，x看作常数求一次导数（xy32)=26xy所以),(yxf=26xy四、二维随机变量X,Y独立性（即变量之间互不影响）1、X,Y互相独立F(yx,)=)(xFX)(yFY2、X,Y互相独立),(yxf=)(xfX)(yfY3、X,Y互相独立jijiPPP,对一切i,j五、常用的连续型两维随机变量概率分布1、均匀分布),(yxf其它,0),(,1DYXS这里（X,Y）D，表示（X,Y）所属的区域为D,S为区域D的面积考试中常用的是矩形区域：bxa，dyc它的面积S=(b-a)(c-d)))((1dcabbxa，dyc),(yxf即：0其它矩形区域内(X,Y)服从二维均匀分布，则其X和Y的边缘分布也服从均匀分布bxaab1cdd-c1y)(xfX)(yfY0其它0其它2、正态分布若(X,Y)服从二维正态分布),,;(22212,1N（1）则边缘分布X,Y也分别服从正态分布：X~)(21,1N，Y~),(222N（2）相关系数0X,Y互相独立五、二维随机变量函数的分布如Z=X+Y,Z=XY等函数，考试一般以离散型随机变量题型居多例：（X,Y）的联合分布率为：YX01211/181/91/622/91/31/9则Z=X+Y的分布率为：Z=X+Y1234P1/181/9+2/9=1/31/6+1/3=1/21/9Z=XY的分布率为：Z=XY0124P1/18+2/9=5/181/91/6+1/3=1/21/9做好后可以用概率和是否等于1检验一下。