电容器的数学模型

高压平板电容器的数学模型笪贤进，曾怡达，张斌摘要：通过建立平板电容器的电场模型，论证了高压平板电容器的极板加工不仅仅是一个简单的工艺问题，更是一个严肃的理论问题［6］。刨光不严的高压电容器极板极易导致高压平板电容器的击穿［7］。关键词：电容器；数学模型；电场中图分类号：TM151.3；TM531.2文献标识码：B0引言对于高压平板电容器而言，我们知道在生产的过程中，如果对其极板的加工精度不够，则会导致极板的光洁度达不到规定的要求，而这会直接导致高压电容器很容易被击穿［1］。下面我将从数学模型的角度对此给出较充分的解释。1无限大的两对带电平行板之间的电场方程1.1建立电场的数学方程无限大的两对带电平行板之间的静电场近似为匀强电场［1］，电场强度E0是竖直的。水平架设的输电线处在这个静电场中(图1)。输电线可以看作是甚长圆柱。由于柱面上的静电感应电荷，圆柱邻近的静电场不再是匀强的。现在研究柱外的静电场。取圆柱的轴为z轴。既然圆柱甚长，电场强度E以及电势u均与z无关，所以只需在xy平面上进行研究。根据问题的对称性，直角坐标x与y不太合适。我将尝试使用平面极坐标ρ与，极轴指向与E0相同(图1)。圆柱面在此平面上的剖口是ρ=a(a是圆柱的半径)，我研究的是此圆以外(ρa)的静电场。圆外没有电荷，静电势u满足拉普拉斯方程。按照拉普拉斯方程的极坐标公式［2］，我们得出)1()(011222auu图1无限大带电平行板之间的电场静电场中导体的各处电势相同。而且，电势只具有相对的意义，故不妨把圆柱导体的电势取作零。这是一个齐次的边界条件u｜ρ=a=0(2)此外还有一个非齐次的边界条件：取x轴平行于E0，在“无限远”处有Ex=E0，Ey=0，Ez=0，即-u／x=E0，-u/y=0，-u／z=0，从而u～-E0x=-E0ρcos(记号“u～”表示“大数值u的主要部分”)，即u｜ρ→∞～-E0ρcos(3)1.2求解定解问题(1)-(3)以分离变数形式的试探解［2］u(ρ,)=R(ρ)Φ()代入方程(1)，得11ddRddR上式左边是ρ的函数，与无关；右边是的函数，与ρ无关。两边不可能相等，除非两边实际上是同一个常数。把这常数记作λ，ddRddR11这就分解为两个常微分方程Φ″+λΦ＝0(4)ρ2R″+ρR′-λR=0(5)常微分方程(4)隐含着一个附加条件。事实上，一个确定地点的极角可以加减2π的整倍数，而电势μ在确定的地点应具确定数值，所以μ(ρ,+2π)=μ(ρ,)，即R(ρ)Φ(+2π)=R(ρ)Φ()，亦即Φ(+2π)=Φ()(6)这叫做自然的周期条件。常微分方程(4)与条件(6)构成本征值问题。不难求得本征值λ=m2，(m=0,1,2,…)(7)本征函数Φ()=Acosm+Bsinm(8)以本征值(7)代入常微分方程(5)，)9(02222RmddRdRd这是欧勒型常微分方程。不难得出其解为0.ln0,mDCmDCRmm这样，分离变数形式的解是um(ρ,)=(Amcosm+Bmsinm)(Cmρm+Dmρ-m)，u0(ρ,)=C0+D0lnρ.一般解u(ρ,)应是这些本征解的叠加，即)10(.sincosln,100mmmmmmmDCmBmADCu为确定(10)中的系数，把(10)代入边界条件。先代入齐次边界条件(2)，得0sincosln100mmmmmmmaDaCmBmAaDC一个傅立叶级数等于零，意味着所有傅立叶系数为零，C0+D0lna=0,Cmam+Dma-m=0由此，C0=-D0lna,Dm=-Cma2m于是，(10)简化为)11(,sincosln,210mmmmmmamBmAaDu要注意，系数Cm已并入Am和Bm之中。下面，再讨论非齐次边界条件(3)。这里着重u的主要部分。对于大的ρ，(11)的ln(ρ/a)项和1／ρm项远远小于ρm项，故不必考虑。因此，以(11)代入(3)的结果是)12(.cos~sincos01EmBmAmmmm既然主要部分是ρ项，可见在(12)中不应出现ρm(m1)的项(否则ρm项就成了主要部分)。这是说Am=0,Bm=0.(m1)就ρ1项而论，从(12)知A1=-E0，B1=0.故最后得出的答案是)13(.coscosln,2000aEEaDu这个答案的当中一项，即-E0ρcos正是原来的匀强静电场中的电势分布［5］。最后一项，即E0(a2/ρ)cos对于大的ρ可以忽略，所以它代表在圆柱的邻近对匀强电场的修正，这自然是柱面的静电感应电荷的影响。此外，还有D0ln(ρ／a)项，系数D0任意，解不是唯一的。从物理上说，定解问题(1)-(3)没有交待清楚导体柱原来所带的电量。(从静电学知道，D0ln(ρ／a)正是均匀带电圆柱体周围的静电场中的电势［4］。)2对上述结论的进一步讨论设圆柱体原来并不带电从而D0=0，答案(13)成为)14(coscos,200aEEu在图2的A点和B点的电场强度是0,02200,02coscosaaaEEuE，它是原来匀强电场的两倍!所以在这两处特别容易击穿。不管圆柱的半径多么小，这个结论都是确定无疑的。在y轴上的电势是,0coscos22002au可见，它与导体圆柱的电势相同。这里说的y轴其实是三维空间中的yz平面［3］。yz平面的电势与导体圆柱的电势相同，所以让导体圆柱两侧沿yz平面伸出两翼，静电场并不改变，电势分布仍然由(14)给出。图2带翼圆柱体的电场图3带翼圆柱体下方的电场3结论我们注意到，带翼圆柱体的下方(图2的下半幅，即图3)的电场实际上就是平行板电容器两极板之间的静电场［8］，只是上极板带有半圆柱隆起。如前指出，这隆起最高处的电场强度是没有隆起的两倍。对于高压电容器来说，这很容易导致击穿。所以高压电容器的极板应刨得非常光滑。