第三章一元线性回归分析

1第三章一元线性回归一元线性回归分析的对象是两个变量的单向因果关系，模型的核心是两变量线性函数，分析方法是回归分析。一元线性回归是经典计量经济分析的基础。第一节一元线性回归模型一、变量间的统计关系社会经济现象之间的相互联系和制约是社会经济的普遍规律。在一定的条件下，一些因素推动或制约另外一些与之联系的因素发生变化。这种状况表明在经济现象的内部和外部联系中存在着一定的因果关系，人们往往利用这种因果关系来制定有关的经济政策，以指导、控制社会经济活动的发展。而认识和掌握客观经济规律就要探求经济现象间经济变量的变化规律。互有联系的经济变量之间的紧密程度各不相同，一种极端的情况是一个变量能完全决定另一个变量的变化。比如：工业企业的原材料消耗金额用y表示，生产量用1x表示，单位产量消耗用2x表示，原材料价格用3x表示，则有：123yxxx。这里，y与123,,xxx，是一种确定的函数关系。然而，现实世界中，还有不少情况是两个变量之间有着密切的联系，但它们并没有密切到由一个可以完全确定另一个的程度。例如：某种高档费品的销售量与城镇居民的收入；粮食产量与施肥量之间的关系；储蓄额与居民的收入密切相关。从图示上可以大致看出这两种关系的区别：一种是对应点完全落到一条函数曲线上；另一种是并不完全落在曲线上，而有的点在曲线上，有的点在曲线的两边。对于后者这种不能用精确的函数关系来描述的关系正是计量经济学研究的重要内容。二、一元线性回归模型1.模型的建立一个例子，见教材66页：总体回归模型：01iiiYX理解：（1）误差的随机性使得Y和X之间呈现一种随机的因果关系；（2）Yi的取值由两部分组成，一类是系统内影响，一类是系统外影响。样本回归直线：01iiYX样本回归模型：01iiiYXe2.模型的假设（1）误差项i的数学期望无论I取什么值都是零。（2）误差项i的方差为常数2（3）误差项i对于I的取值不同，不相关。（4）解释变量X是确定性的变量，而非随机变量。（5）误差项i服从正态分布。2第二节参数估计一、回归参数的最小二乘估计？怎么样才算拟合的较好呢最小二乘法，得到正规方程组的一般形式，解出01,的值。写出正规方程组的离差形式。二、一个实例：书上76页。请同学上来做题。课堂练习：我国税收预测模型。如下表，列出了我国1985~1998年期间税收收入Y和国内生产总值（GDP）X的统计资料，试利用EVIEWS软件求出一元线性回归直线的表达式，并对此表达式对以经济说明。我国税收与GDP统计资料年份税收GDP年份税收GDP1985198619871988198919901991204120912140239127272822299089641020111963149281690918548216181992199319941995199619971998329742555127603869108234926326638346344675958478678857446379396作业：1、第103页1——4题。2、下表列出了我国城镇居民家庭1998年平均每人全年消费性支出与可支配收入X的统计资料，试利用EVIWES软件，估计我国的城镇居民消费函数（一元线性）。我国城镇居民家庭1998年收支状况收入等级人均消费支出Y人均可支配收入X困难户最低收入户低收入户中等偏下户中等收入户中等偏上户高收入户最高收入户2214.472397.602979.273503.244179.644980.886003.217593.952198.8824763753303.174107.265118.996370.597877.6910962.163、下面给出的是A企业在10年中总成本和产量水平的中间结果777X，Y=1657，132938XY，270903X，2277119Y（1）试估计其线性成本函数01iiYX（2）试表示平均可变成本、边际成本和平均总成本。3第三节最小二乘估计量的性质一、参数估计量的评价标准1．无偏性2．有效性3．一致性二、高斯——马尔可夫定理及估计量的一致性证明第四节回归拟合度评价和决定系数一、回归拟合度评价的意义二、离差的分解和可决系数的计算作业：1、根据最小二乘原理，所估计的模型已经使得拟合误差达到最小，为什么还要讨论模型的拟合优度问题呢？2、对于古典回归模型，证明：（1）01()iiEYX（2）2()iDY（3）(,)0()ijCovYYij3、证明高斯-马尔可夫定理。4第五节统计推断一、被估参数的分布和标准化211222002~[,]()~[,]()iiiiiiNXXXNnXX可以构建标准化的随机变量。二、被估参数的方差和相应统计量的构建无偏估计：222iieSn进而对0ˆ,1ˆ构建自由度为（n-2）的t统计量。三、参数的置信区间和假设检验1.1的100(1-)%的置信区间为：（1-12()tS，1+12()tS）以上面的例子来计算01,的置信区间。2.模型参数的显著性检验，是检验模型参数是否明显异于0，是其中基本的一种假设检验。第六节回归方程的应用——预测和控制一、点预测二、点预测的性质2221()~(,[1])()iIXXYNYnXX这是进一步做预测分析的重要基础。三、区间估计0122221()[1]()iiXYtXXSnXX5一个实例:如下表，列出了我国1985~1998年期间税收收入Y和国内生产总值（GDP）X的统计资料。（单位：亿元人民币）我国税收与GDP统计资料年份税收GDP年份税收GDP1985198619871988198919901991204120912140239127272822299089641020111963149281690918548216181992199319941995199619971998329742555127603869108234926326638346344675958478678857446379396（1）估算出税收收入与国内生产总值的函数表达式。（2）构建被估参数0，1置信度为99%的置信区间。（3）对模型参数进行显著性检验。显著性水平为5%。（4）假设1999年GDP为82310，对1999年税收收入做点预测和区间预测。（置信度为95%）6作业：1、第103页5~7题。2、古典回归模型的基本假定有哪些？违背基本假定的模型是否就不可以估计了呢？3、为什么要进行解释变量的显著性检验？4、一元线性回归模型有时采用如下形式：1iiiYX模型中的截矩项为零，叫做过原点的回归模型。试证这种模型中：（1）12iiiXYX（2）212()iVarX