第三章一阶微分方程的解的存在定理

第三章一阶微分方程的解的存在定理教学目的：使学生掌握解的存在唯一性定理的内容及证明思想、延拓定理、解对初值的连续依赖性和可微性定理的内容；掌握逐次逼近法；会判断解的存在区间；了解奇解的概念和解法．教学内容：1、解的存在唯一性定理与逐次逼近法解的存在唯一性定理及其证明、Lipschitz条件、Picard逼近序列、逐次逼近法．2、解的延拓定理与延拓条件．3、解对初值的连续依赖性和可微性定理4、奇解、包络、奇解、Clairaut方程．教学重点：解的存在唯一性定理及其证明教学难点：解的延拓定理、解对初值的连续依赖性、可微性定理的证明教学过程：§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法3.1.1存在唯一性定理定理１如果),(yxf在R上连续且关于y满足李普希兹条件，则方程),(yxfdxdy(3.1)存在唯一解)(xy定义于区间hxx0上，连续且满足初始条件00)(yx（3.3）其中),(max),,min(),(yxfMMbahRyx可用皮卡（Picard）逐步逼近法证明这个定理，此外，用欧拉折线法（差分法）、绍德尔（Schouder）不动点方法等亦可证明．逐步逼近法的基本思想分五个命题来证明定理．命题１设)(xy是方程(3.1)的定义于区间hxxx00上，满足初始条件00)(yx的解，则)(xy是积分方程hxxxdxyxfyyxx000,),(0（3.5）的定义于区间hxxx00上的连续解，反之亦然．现取00)(yx，构造皮卡逐步逼近函数序列如下：xxnnnhxxxdxfyxyx0),,2,1(,)(,()()(0010n00(3.7)命题２对于所有的n，(3.7)中函数)(xn在hxxx00上有定义、连续且满足不等式byxn0)((3.8)命题３函数序列)(xn在hxxx00上是一致收敛的．设)()(lim0xxnn，则)(x也在hxxx00上连续，且由(3.８)又可知，byxn0)(命题４)(x是积分方程（3.5）定义于区间hxxx00上的连续解．命题５设)(x是积分方程（3.5）定义于区间hxxx00上的另一个连续解，则)(),()(00hxxxxx．附注１（Ｐ84）附注2由于利普希兹条件比较难于检验，常用),(yxf在R上对于y的连续偏导数代替．附注３（Ｐ85）定理２如果在点),,(000yyx的某个邻域内，1),,(yyxF对所有变元连续，且存在连续偏导数；20),,(000yyxF；30),,(000yyyxF；则方程(3.15)存在唯一解．hxxxyy0),(（h未足够小的任意正数）满足初始条件0000)(,)(yxyyxy3.1.2近似计算与误差估计在(3.14)中令),()(xx可得第n次近似解)(xn和真正解)(x在区间11)!1()()(nnnhnMlxx(3.19)在近似计算时，可根据误差的要求，选取适当的逐步逼近函数)(xn．例１方程22yxdxdy定义于矩形区域11,11:yxR上，试利用存在唯一性定理确定过点)0,0(的解的存在区间，并求在此区间上与真正解的误差不超过05.0的近似解的表达式．作业：P881、3、4、5、7、9§3.２解的延拓局部利普希兹条件，即对于内的每一点，有以其为中心的完全含于G内的闭矩形R存在，在R上),(yxf关于y满足利普希兹条件．解的延拓定理如果方程(3.1)右端的函数),(yxf在有界区域内连续，且在G内关于y满足局部利普希兹条件，则方程(3.1)的通过G内任意一点),(00yx的解)(xy可以延拓，直到点))(,(xx任意接近区域G的边界．以向x增大的一方的延拓来说，如果)(xy只能延拓到区间mxx0上，则当mx时，))(,(xx趋于区域G的边界．推论如果G是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下，方程(3.1)的通过),(00yx的解)(xy可以延拓，以向x增大的一方的延拓来说，有下面两种情况：(1)解)(xy可以延拓到区间),[0x；(2)解)(xy只可以延拓到区间),[0mx，其中m为有限数，则当mx时，或者)(xy无界，或者点))(,(xx趋于区域G的边界．例１讨论方程212ydxdy的分别通过点)3,2(ln),0,0(的解的存在区间．例２讨论方程xdxdyln1满足条件1)1(y的解的存在区间．§3.３解对初值的连续性和可微性定理3.3.1解关于初值的对称性解关于初值的对称性定理设方程(3.1)的满足初始条件00)(yxy的解是唯一的，记为),,(00yxxy，则在表达式中，),(yx和),(00yx可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式),,(00yxxy3.3.2解对初值的连续依赖性引理如果函数),(yxf在某区域D内连续，且关于y满足利普希兹条件，则对方程(3.1)的任意两个解)()(xx和，在它们的公共存在区间成立着不等式0xxL00e|)()(||)()(|xxxx(3.20)其中0x为所考虑区间内的某一值．解对初值的连续依赖性定理设),(yxf在区域G内连续，且关于y满足局部利普希兹条件，Gyx),(00，),,(00yxxy是(3.１)的满足初始条件00)(yxy的解，它在区间bxa上有定义)(0bxa，则对于任意给定的0，存在正数),,(ba使得当2200200)()(yyxx时，方程(3.1)的满足条件00)(yxy的解),,(00yxxy在区间bxa上也有定义，并且bxayxxyxx,|),,(),,(|0000证明（略，见P96）解对初值的连续性定理若),(yxf在区域G内连续，且关于y满足局部利普希兹条件，则方程(3.1)的解),,(00yxxy作为00,,yxx的函数在它的存在范围内是连续的．3.3.3解对初值的可微性解对初值的可微性定理若),(yxf及yf都在区域G内连续，则方程(3.1)的解),,(00yxxy作为00,,yxx的函数在它的存在范围内是可微的．证明（略，见P100）