第三章一阶线性微分方程组第一讲一阶微分方程组及解的存在唯一性定理

韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕1第一讲一阶微分方程组及解的存在惟一性定理（2课时）一、目的与要求:了解高阶微分方程与一阶微分方程组的等价关系,理解用向量和矩阵来研究一阶微分方程组的作用,了解微分方程组解的存在唯一性定理.二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理.三、难点：向量和矩阵列的收敛性的定义,二者的范数定义及其相关性质.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1课题引入在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质.例如，已知在空间运动的质点(,,)Pxyz的速度与时间t及该点的坐标的关系为(,,)xyzvvvv韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕2123(,,,)(,,,)(,,,)xyzvftxyzvftxyzvftxyz且质点在时刻0t经过点000(,,)xyz，求该质点的运动轨迹。因为,xydxdyvvdtdt和zdzvdt,所以这个问题其实就是求一阶微分方程组123(,,,)(,,,)(,,,)xftxyzyftxyzzftxyz的满足初始条件00(),xtx00(),yty00()ztz的解(),(),()xtytzt.另外，在n阶微分方程（1.12）()(1)(,,,,)nnyfxyyy中,令(1)121,,,nnyyyyyy就可以把它化成等价的一阶微分方程组韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕311221111(,,,,)nnnndyydxdyydxdyydxdyfxyyydx注意，这是一个含n个未知函数11,,,nyyy的一阶微分方程组.含有n个未知函数12,,,nyyy的一阶微分方程组的一般形式为：11122112112(,,,,)(,,,,)(,,,,)nnnndyfxyyydxdyfxyyydxdyfxyyydx(3.1)如果方程组(3.1)右端函数不显含x,则相应的方程称为是自治的.方程组(3.1)在[,]ab上的一个解，是这样的一组函数韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕412(),(),,()nyxyxyx使得在[,]ab上有恒等式12()(,(),(),,())iindyxfxyxyxyxdx(1,2,,)in含有n个任意常数12,,,nCCC的解1112221212(,,,,)(,,,,)(,,,,)nnnnnyxCCCyxCCCyxCCC称为(3.1)的通解.如果通解满足方程组11212212121212(,,,,,,,,)0(,,,,,,,,)0(,,,,,,,,)0nnnnnnnxyyyCCCxyyyCCCxyyyCCC则称后者为(3.1)的通积分.如果已求得(3.1)的通解或通积分，要求满足初始条件1010202000(),(),,()nnyxyyxyyxy韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕5(3.2)的解，可以把初始条件(3.2)代入通解或通积分之中，得到关于12,,,nCCC的n个方程式，如果从其中解得12,,,nCCC，再代回通解或通积分中，就得到所求的初值问题的解.2一阶微分方程组的向量和矩阵表示为了简洁方便，经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(3.1).令n维向量函数12()()(),()nyxyxYxyx11221212(,,,,)(,,,,)(,)(,,,,)nnnnfxyyyfxyyyFxYfxyyy并定义111(),dydxdydYxdxdxdydx00001()()()()xxxxnxxxnxfxdxfxdxFxdxfxdx则(3.1)可记成向量形式韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕6(,)dYFxYdx(3.3)初始条件(3.2)可记为00(),YxY其中102000nyyYy(3.2)′(3.3)的满足(3.2)′的初值问题可记为00(,)()dYFxYdxYxY(3.4)这样，从形式上看，一阶方程组与一阶方程式完全一样了.进一步，对n维向量Y和矩阵()ijAa,韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕712,nyyYy111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa定义1,niiYy,1nijijAa易于证明以下性质：1.0Y,且0Y,当且仅当0Y(0表示零向量，下同);2.1212YYYY;3.对任意常数，有YY;4.0A;5.ABAB;6.对任意常数，有AA;7.AYAY;8.ABAB.称Y和A分别为向量Y和矩阵A的范数.进而还有如下性质韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕800()()xxxxFxdxFxdx有了n维空间的范数定义后，我们可以定义按范数收敛的概念.即：如果对[,]ab上的任意x，有lim()()0nnYxYx则称()nYx在[,]ab上按范数收敛于Y(x).如果上式对[,]ab上的x为一致的，则称()nYx在上[,]ab按范数一致收敛于()Yx.另外,如果对n维向量函数F(x)有00lim()()0xxFxFx则称()Fx在0x连续.如果()Fx在区间[,]ab上每一点0x都连续,则称()Fx在区间[,]ab上连续.有了以上准备，完全类似于第二章定理2.2，我们有如下的关于初值问题(3.4)的解的存在与唯一性定理.定理3.1如果函数(,)FxY在1n维空间的区域00:,RxxaYYb上满足：1)连续；2)关于Y满足李普希兹条件，即存在0N,使对于R上任意两点1(,),xY2(,)xY,有韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕91212(,)(,)FxYFxYNYY则存在00h,使初值问题(3.4)的解在00xxh上存在且唯一，其中0min(,),bhaM(,)max(,)xYRMFxY.定理的证明方法与定理2.2完全类似,也是首先证明(3.4)与积分方程00()(,())xxYxYFxYxdx(3.5)同解.为证(3.5)的解在00xxh上的存在性，同样用逐次逼近法，其步骤可以逐字逐句重复定理2.2的证明.最后，唯一性的证明，同样用贝尔曼不等式完成.对于方程组(3.3)也有类似第二章关于纯量方程(1.9)的解的延展定理和解对初值的连续依赖性定理，这只要在第二章相应定理中把纯量y换成向量Y即可.最后，我们要指出方程组(3.3)解的几何意义：我们已经知道，纯量方程(1.9)的一个解是二维空间xoy平面上的一条曲线，或称为积分曲线，那么，很自然地有方程组(3.3)的一个韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕10解就是1n维空间(,)xY中的一条曲线了，也称它为方程组(3.3)的积分曲线.本节要点：1．一阶微分方程组解的存在唯一性定理及解的几何意义.2．一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理及其特征：系数和非齐次项连续区间上整体存在.作业:完成定理3.1的证明.