第三章一阶线性微分方程组第二讲一阶线性微分方程组的一般概念及理论

韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕1第二讲一阶线性微分方程组的一般概念与一阶线性齐次方程组的一般理论（4课时）一、目的与要求:了解一阶线性微分方程组的一般概念与一阶线性齐次方程组的一般理论,掌握一阶线性齐次方程组的通解结构,理解基本解矩阵,Wronsky行列式等概念.二、重点：一阶线性齐次方程组的通解结构,基本解矩阵,Wronsky行列式.三、难点：基本解矩阵,Wronsky行列式.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1.一阶线性微分方程组的一般概念如果在一阶微分方程组(3.1)中,函数12(,,,,)(1,2,,)infxyyyin,关于12,,,nyyy是线性的,即(3.1)可以写成1111122112211222221122()()()()()()()()()()()()nnnnnnnnnnndyaxyaxyaxyfxdxdyaxyaxyaxyfxdxdyaxyaxyaxyfxdx韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕2(3.6)则称(3.6)为一阶线性微分方程组.我们总假设(3.6)的系数()(,1,2,,)ijaxijn及()(1,2,,)ifxin在某个区间IR上连续.为了方便,可以把(3.6)写成向量形式.为此,记111212122212()()()()()()()()()()nnnnnnaxaxaxaxaxaxAxaxaxax及12()()()()nfxfxFxfx根据第13讲的记号,(3.6)就可以写成向量形式()()dYAxYFxdx(3.7)如果在I上,()0Fx,方程组(3.7)变成()dYAxYdx(3.8)韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕3我们把(3.8)称为一阶线性齐次方程组.如果(3.8)与(3.7)中()Ax相同,则称(3.8)为(3.7)的对应的齐次方程组.与第二章中关于一阶线性微分方程的结果类似,我们可以证明如下的关于(3.7)的满足初始条件(3.2)′的解的存在与唯一性定理.定理3.1′如果(3.7)中的()Ax及()Fx在区间,Iab上连续,则对于,ab上任一0x以及任意给定的0Y,方程组(3.7)的满足初始条件(3.2)′的解在,ab上存在且唯一.这个定理的证明留给读者完成.它的结论与定理3.1的不同之处是定理3.1的解的存在区间是局部的，而定理3.1′则指出解在整个区间,ab上存在.2.一阶线性齐次方程组的一般理论⑴一阶线性齐次微分方程组解的性质本节主要研究一阶线性齐次方程组(3.8)的通解结构.为此我们首先从(3.8)的解的性质入手.定理3.2如果11121212221212()()()()()()(),(),,()()()()mmmnnnmyxyxyxyxyxyxYxYxYxyxyxyx是方程组(3.8)的m个解，则1122mmYCYCYCY(3.9)韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕4也是(3.8)的解，其中12,,,mCCC是任意常数.换句话说，线性齐次方程组(3.8)的任何有限个解的线性组合仍为(3.8)的解.证明因为(1,2,,)iYim是(3.8)的解，即()()()iidYxAxYxdx(1,2,,)im成立.再由1122[()()()]mmdCYxCYxCYxdx1212()()()mmdYxdYxdYxCCCdxdxdx1122()()()()()()mmCAxYxCAxYxCAxYx1122()[()()()]mmAxCYxCYxCYx这就证明了(3.9)是(3.8)的解.定理3.2告诉我们，一阶线性齐次微分方程组(3.8)的解集合构成了一个线性空间.为了搞清楚这个线性空间的性质，进而得到方程组(3.8)的解的结构，我们引入如下概念.定义3.1设12(),(),,()mYxYxYx是m个定义在区间I上的n维向量函数.如果存在m个不全为零的常数12,,,mCCC，使得1122()()()0mmCYxCYxCYx在区间I上恒成立,则称这m个向量函数在区间I上线性相关,否则称它们在区间I上线性无关.韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕5显然，两个向量函数12(),()YxYx的对应分量成比例是它们在区间I上线性相关的充要条件.另外,如果在向量组中有一零向量,则它们在区间I上线性相关.若12(),(),,()nYxYxYx是(3.8)的n个解,称下面的矩阵为这个解组对应的矩阵12()(),(),,()nxYxYxYx对111212122212()()()()()()()()()nnnnnnyxyxyxyxyxyxyxyxyx它它的第i个列向量为()iYx.如果这组解是线性无关的,则称此矩阵为(3.8)的基本解矩阵例1向量函数它21cos()1,xYxx22sin1()1xYxx韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕6在任何区间(a,b)上是线性相关的.事实上取121CC有1122()()0.CYxCYx。例2向量函数3313(),xxxeYxee6626()2xxxeYxee在(-∞,+∞)上线性无关.事实上，要使得1122()()0,(,)CYxCYxx成立，或写成纯量形式，有3123123120,20,0,xxxCCeCCeCCe(,)x显然,仅当120CC时,才能使上面三个恒等式同时成立,即所给向量组在(,)上线性无关.上上上例3向量函数212()0,xxeYxe2220()xxYxee在(,)上线性无关.事实上，由于韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕71122()()0,(,)CYxCYxx相当于纯量形式212222120,0,0,xxxxCeCeCeCe(,)x由此可以看出：仅当120CC时，才能使上面三个恒等式同时成立，即所给向量组在(,)上线性无关.例3中两个向量函数的各个对应分量都构成线性相关函数组.这个例题说明，向量函数组的线性相关性和由它们的分量构成的函数组的线性相关性并不等价.下面介绍n个n维向量函数组12(),(),,()nYxYxYx(3.10)在其定义区间I上线性相关与线性无关的判别准则.我们考察由这些列向量所组成的行列式111212122212()()()()()()()()()()nnnnnnyxyxyxyxyxyxWxyxyxyx通常把它称为向量组(3.10)的朗斯基(Wronsky)行列式.韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕8定理3.3如果向量组(3.10)在区间I上线性相关，则它们的朗斯基行列式()Wx在I上恒等于零.证明依假设，存在不全为零的常数12,,,nCCC,使得1122()()()0,nnCYxCYxCYxxI把上式写成纯量形式,有111212112122221122()()()0,()()()0,()()()0,nnnnnnnnnCyxCyxCyxCyxCyxCyxCyxCyxCyxxI这是关于12,,,nCCC的线性齐次代数方程组，且它对任一xI，都有非零解12,,,nCCC.根据线性代数知识，它的系数行列式W(x)对任一xI都为零.故在I上有W(x)≡0.证毕.对于一般的向量函数组,定理3.3的逆定理未必成立.例如向量函数1(),0xYx22()0xYx的朗斯基行列式恒等于零，但它们却是线性无关的.韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕9然而，当所讨论的向量函数组是方程组(3.8)的解时，我们有下面的结论.定理3.4如果12(),(),,()nYxYxYx是方程组(3.8)的n个线性无关解，则它们的朗斯基行列式W(x)在I上恒不为零.证明(反证法)如果有0xI使得0()0Wx，考虑线性齐次代数方程组111021201012102220201102200()()()0,()()()0,()()()0,nnnnnnnnnCyxCyxCyxCyxCyxCyxCyxCyxCyx由于系数行列式0()0Wx,所以它存在非零解21(,,,)TTnCCCC,即1102200()()()0nnCYxCYxCYx考虑函数1122()()()()nnYxCYxCYxCYx由定理3.2知函数()Yx是(3.8)的解，而且它满足初始条件0()0Yx..另一方面，()0Yx也是方程(3.8)的满足初值条件()0Yx的解.因此，根据定理3.1′有()0,YxxI韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕10即1122()()()0,nnCYxCYxCYxxI因为11,,,nCCC不全为零，从而12(),(),,()nYxYxYx在I上线性相关，这与假设矛盾，定理证毕.由定理3.3和定理3.4立即得到如下的推论.推论3.1如果向量组(3.10)的朗斯基行列式W(x)在区间I上的某一点0x处不等于零，即0()0Wx,则向量组(3.10)在I上线性无关.实际上，这个推论是定理3.3的逆否命题.推论3.2如果方程组(3.8)的n个解的朗斯基行列式W(x)在其定义区间I上某一点0x等于零，即0()0Wx,则该解组在I上必线性相关.实际上，这个推论是定理3.4的逆否命题.推论3.3方程组(3.8)的n个解在其定义区间I上线性无关的充要条件是它们的朗斯基行列式W(x)在I上任一点不为零.韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕11条件的充分性由推论3.1立即可以得到．必要性用反证法及推论3.2证明是显然的．证毕．3.一阶线性齐次微分方程组解空间的结构．我们把一阶线性齐次方程组(3.8)的n个线性无关解称为它的基本解组.显然基本解组对应的矩阵中基本解矩阵.例4易于验证向量函数11()1,()1txteyt222()1()2txteyt是方程组,xy2yxy的基本解组.定理3.5方程组(3.8)必存在基本解组.证明由定理(3.1)′可知，齐次方程组(3.8)必存在分别满足初始条件10200100010(),(),,(),000001nYxYxYx0xI(3.11)韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李承耕12的n个解12(),(),,()nYxYxYx.由于它们所构成的朗斯基行列式()Wx在0xx处有010000100()100001Wx因而，由推论3.3知12(),(),,()nYxYxYx是基本解组.满足初始条件(3.11)的基本解组称为方程组(3.8)的标准基本解组.标准基本解组对应的矩阵称为标准基本解矩阵.显然,标准基本解矩阵在0x时的值为单位阵.下面我们可以给出齐次方程组(3.8)的基本定理了.定理3.6如果12(),(),,()nYxYxYx是齐次方程组(3.8)的基本解组，则其线性组合1122()()()()nnYxCYxCYxCYx(3.12)是齐次方程组(3.8)