第三章-表示力学量的算符-习题

第三章表示力学量的算符第一部分；基本思想与基本概念题目1.举例说明算符与它表示力学量之间的关系。2.如何理解力学量完全集？3.守恒量有哪些特征？4.量子力学中的守恒量与经典力学守恒量有何区别？5.如何构造力学量算符？6.若1与2是力学量F属于同一本征值的两个不同本征函数，则＝C11＋C22（C1，C2是任意常数）是否仍是F的本征函数。7.设[Â，Ĉ]＝0，则力学量Â和Ĉ是否一定可同时确定？8.设[Â，Ĉ]≠0，则力学量Â和Ĉ是否一定不可同时确定？9.试述│Cn│2的物理意义。10.对于氢原子哪些力学量组成力学量完全集？11.对氢原子n，l，m这三个量子数分别决定哪些力学量？12.线性谐振子的能量是守恒量，那它能否处于能量没有确定值的状态？举例说明。13.t＝0时，粒子处于力学量F的本征态，则在t时刻它是否处于该本征态？14.2ˆL的本征态是否一定是ˆzL的本征态？举例说明。15.ˆzL的本征态是否一定是2ˆL的本征态？16.当氢原子处于nlm（r，，）＝Rnl（r）Ylm（，）态时，哪些力学量可同时确定，其值分别是多少？17.若[Â，Ĉ]＝0，则粒子是否一定处于A和B两力学量的共同本征态？第二部分：基本技能训练题1.证明厄密算符的平均值都是实数（在任意态）2.判断下列等式是否正确12ˆˆˆ()()EHTU(3)HETUHTU3.设（x）归一化，｛k｝是ˆF的本征函数，且()()kkkxCx（1）试推导Ck的表达式。（2）求证力学量在（x）态的平均值2kkkFCF。（3）说明|Ck|2的物理意义。4.一维谐振子处于基态0（x）态，求该态中（1）势能的平均值2212Ux（2）动能的平均值22pT（3）动量的几率分布。5.氢原子处于0301(,,)rarea态，求（1）r的平均值。（2）－e2/r的平均值（3）最可几半径.（4）动能平均值.6.证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在极坐标系中的分量为Jer=Je=0,Je=(-eћm/μrsinθ)|ψnlm|27.由上题知,氢原子中电流可看作许多圆周电流组成(1)求一圆周电流的磁矩(2)求证氢原子磁矩为M=Mz=-meћ/2μ8.求一维无限深势阱中粒子动量与位置的测不准关系22()()?xp9.证明氢原子中电子的力学量算符2ˆL与ˆzL是守恒量.10.设线谐振子处于011322()()()xxx描述的状态,则在该态中能量可能取哪些值?对应的几率各是多少?(01(),()xx分别是基态与第一激发态的本征函数)。11.上题中用两种方法求能量平均值。12.设粒子处于Ylm(,)态,求该态中Lx,Ly,Lz的平均值.13.一刚性转子的转动惯量为I,它的能量经典表达式是H=L2/2I,这儿L为角动量,求与此对应的量子体系在下列条件下的定态波函数和定态能量。（1）转子绕一固定轴转动。（2）转子绕一点转动。14．若ˆˆGF和都是厄密算符，且ˆˆˆˆGGFF(1)ˆˆˆˆGGFF是否是厄密算符？试证明。(2)ˆˆˆˆ(GG)iFF是否是厄密算符？试证明。15.0ˆˆˆˆ[G],GFF设，证明是厄密算符。16.t＝0时，粒子处于态212()[sincos]xAkxkx求此时粒子平均能量和平均动能。17.证明：若两算符对易，则两算符有组成完全系的共同本征函数。18.下列哪些算符是厄密算符2222;;i;idddddxdxdxdx19.设氢原子处于211021111322(,,)rRYRY求氢原子能量、角动量平方及z分量的可能值，可能值出现的几率，并求其平均值。20.证明自由粒子能级是简并的。21.求解算符ˆxdpidx的本征方程。22.求解自由粒子的能量本征方程。23.一维运动粒子的状态是0x0()x0xAxex其中0，求（1）粒子动量的几率分布。（2）粒子平均动量。24.0ˆˆˆˆˆˆ[,y]-ix;[,y];[,y]izyxLLLz证明：　　　　　　　25.设体系处于＝C1Y11＋C2Y10态中，求（1）力学量Lz的可能值与平均值。（2）L2的可能值与平均值。26.试求角动量平方算符2ˆL当本征函数为Y(,)=A[cos+asincos]的本征值.第三部分:小论文题目1.量子力学中守恒量研究。2.守恒量与对称性之间关系。3.力学量平均值计算方法探讨。4.算符与它所表示力学量之间关系研究。5.球坐标下角动量算符的推导方法研究。