第三章不等式

第1页共8页1第三章不等式一、选择题1．若a＝20.5，b＝log3，c＝logsin52，则()．A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a2．设a，b是非零实数，且a＜b，则下列不等式成立的是()．A．a2＜b2B．ab2＜a2bC．21ab＜ba21D．ab＜ba3．若对任意实数x∈R，不等式｜x｜≥ax恒成立，则实数a的取值范围是()．A．a＜－1B．｜a｜≤1C．｜a｜＜1D．a≥14．不等式x3－x≥0的解集为()．A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)C．[0，1)∪(1，＋∞)D．[－1，0]∪[1，＋∞)5．已知f(x)在R上是减函数，则满足f(11x)＞f(1)的实数取值范围是()．A．(－∞，1)B．(2，＋∞)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(1，2)6．已知不等式f(x)＝ax2－x－c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，则函数y＝f(－x)的图象为图中()．ABCD7．设变量x，y满足约束条件yxyxyx2＋＋－则目标函数z＝5x＋y的最大值是()．A．2B．3C．4D．58．设变量x，y满足5－－31＋－3－＋yxyxyx设y＝kx，则k的取值范围是()．A．[21，34]B．[34，2]C．[21，2]D．[21，＋∞)≥0≤1≥1≥0≥1≤1(第6题)第2页共8页29．已知a，b∈R，则使｜a｜＋｜b｜≥1成立的一个充分不必要条件是()．A．｜a＋b｜＜1B．a≤1，且b≤1C．a＜1，且b＜1D．a2＋b2≥110．若lgx＋lgy＝2，则x1＋y1的最小值为()．A．201B．51C．21D．2二、填空题11．以下四个不等式：①a＜0＜b，②b＜a＜0，③b＜0＜a，④0＜b＜a，其中使a1＜b1成立的充分条件是．12．设函数f(x)＝11则不等式xf(x)＋x≤4的解集是____________．13．若不等式(－1)na＜2＋nn1)1(对任意正整数n恒成立，则a的取值范围是．14．关于x的不等式x2－(a＋a1＋1)x＋a＋a1＜0(a＞0)的解集为__________________．15．若不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是空集，则a的取值范围是．三、解答题16．已知函数f(x)＝x2－2x＋2194)(x－，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，求f(x)的最小值．(x＞0)，(x＜0)．第3页共8页317．甲乙两人同时同地沿同一路线走向同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m≠n，问甲乙两人谁先到达指定地点?18＊．已知关于x的不等式(ax－5)(x2－a)＜0的解集为M．(1)当a＝4时，求集合M；(2)当3∈M，且5∈M时，求实数a的取值范围．第三章不等式第4页共8页4参考答案一、选择题1．A解析：三个以上的实数比较大小，可以先估算，进行分类(与0比较或与1比较)，再应用不等式性质或作差法．因为＞1，0＜sin52＜1，所以c＝logsin52＜0．又因为3＞1，所以b＝log3＞0，而a＝20.5＞0，故c最小，只需再比较a与b的大小．由指数函数的性质知，20.5＞1而且0＜log3＜log＝1，所以a＞b，即a＞b＞c．2．C解析：比较两个实数的大小，可采用作差法，也可用特殊值排除法，以下用作差法．∵a2－b2＝(a＋b)(a－b)，当a＜b，且a，b均为负数时，(a＋b)(a－b)＞0，a2＞b2，排除A．∵ab2－a2b＝ab(b－a)，由于b－a＞0，当a，b同号时(比如a＝1，b＝2)，ab(b－a)＞0，ab2＞a2b，排除B．∵21ab－ba21＝22－baba＜0，即21ab＜ba21．同样可以用作差法判断ab＜ba是错误的．3．B解析：由于不等号两边的函数比较熟悉，可以尝试数形结合法．令f(x)＝｜x｜，g(x)＝ax，画出图象如右图，由图可以看出｜a｜≤1．4．D解析：用数轴标根法求解．x3－x≥0可化为x(x－1)(x＋1)≥0，如图，原不等式的解集为{x｜－1≤x≤0，或x≥1}．5．C解析：关键是利用单调性去掉“f”，转化为不含“f”的不等式求解．(第3题)(第4题)第5页共8页5∵f(x)在R上是减函数，∴f(11x)＞f(1)11x＜112xx＞0x＜1或x＞2．6．B解析：首先根据方程ax2－x－c＝0的根确定a，c，再求出f(－x)．由已知，方程ax2－x－c＝0的两个实根为－2和1，则(－2)＋1＝a1，(－2)×1＝ac，解得a＝－1，c＝－2，则f(x)＝－x2－x＋2，f(－x)＝－x2＋x＋2＝－(x－21)2＋49，由开口方向和对称轴位置判断为B．7．D解：先画可行域如图．作直线l0:5x＋y＝0，平行移动直线l0至直线l，从图形中可以发现，当直线l经过平面区域内的点A时，直线在y轴的截距最大，此时z最大．由1＝＋1＝2＋yxyx，解得0＝1＝yx，即A(1，0)，∴z＝5×1＋0＝5．(第7题)第6页共8页68．C解析：k的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率．解:先画出题中不等式组所表示的区域(如图)，可以看出kOA最小，kOB最大．由1＝2＝0＝3－＋0＝5－－3yxyxyx得A(2，1)，kOA＝0－20－1＝21；由2＝1＝0＝3－＋0＝1＋－yxyxyx得B(1，2)，kOB＝0－10－2＝2．∴21≤k≤2，即k∈[21，2]．9．D分析:如果①：某选项能推出|a|＋|b|≥1，则充分性成立；还需要②：|a|＋|b|≥1不能推出该选项，①和②满足，该选项就是充分不必要条件．解：若a2＋b2≥1，则(|a|＋|b|)2＝a2＋2|ab|＋b2≥a2＋b2≥1，|a|＋|b|≥1，充分性成立．但|a|＋|b|≥1时，未必有a2＋b2≥1，例如21＋21＝1，然而221＋221＜1．10．B解：∵lgx＋lgy＝2，∴xy＝100，且x＞0，y＞0，∴x1＋y1≥2yx11＝xy2，即x1＋y1≥51，当且仅当100＝＝xyyxx＝10，y＝10时取等号．二、填空题11．①②④．解：a＜0＜ba1＜0＜b1，充分性成立；b＜a＜0ab＞0，b－a＜0abab－＜0，即a1＜b1，充分性成立；b＜0＜ab1＜0，a1＞0a1＞b1，充分性不成立；(第8题)第7页共8页70＜b＜aab＞0，b－a＜0a1＜b1，充分性成立．12．{x｜0＜x≤2，或x＜0}．解析：由于f(x)是分段函数，所以要分别对每一段(分别在x＞0，x＜0条件下)解不等式．由0＜x≤2，由x＜0，∴0＜x≤2或x＜0．13．［－2，23)．解析：首先处理(－1)n，需要对n的奇偶性进行讨论．若n为奇数，原不等式－a＜2＋n1a＞－(2＋n1)，即a＞－(2＋n1)对任意正奇数n恒成立，因为－(2＋n1)＝－2－n1＜－2，所以只需a≥－2．若n为偶数，原不等式a＜2－n1，即a＜2－n1对任意正偶数n恒成立，只需a＜(2－n1)最小值＝2－21＝23，即a＜23．所以若对任意正整数n不等式恒成立，以上应同时满足，故－2≤a＜23．14．{x｜1＜x＜a＋a1}．解析：首先判断方程x2－(a＋a1＋1)x＋a＋a1＝0(a＞0)是否有实数根，实数根大小是否确定．x2－(a＋a1＋1)x＋a＋a1＜0可化为(x－1)[x－(a＋a1)]＜0，∵a＞0，a＋a1≥2＞1，∴1＜x＜a＋a1．15．{x｜－1＜a＜3}．解析：把问题等价转化为“恒成立”问题．x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是空集，x2－2x＋3＞a2－2a－1在R上恒成立，x＞0xf(x)＋x≤4x＞0x·1＋x≤4x＜0xf(x)＋x≤4x＜0x·(－1)＋x≤4第8页共8页8x2－2x－a2＋2a＋4＞0在R上恒成立．因为抛物线y＝x2－2x－a2＋2a＋4开口向上，故只需△＝4－4(－a2＋2a＋4)＜0，即x2－2x＋3＜0－1＜a＜3．三、解答题16．解析：f(x)＝(x－1)2＋2194)(x－－1≥294－1＝31．当x－1＝2194)(x－时，即x＝1±36时，f(x)取到最小值31．17．分析：行走时间短者先到达指定地点，问题的实质是比较两个实数(式子)的大小，用作差法．解：设从出发地到指定地点的路程是s，甲乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，则sntmt＝2＋211，2＝2＋2tnsms，所以t1＝nms＋2，t2＝mnsnm2＋)(．t1－t2＝mnsnmnms2＋－＋2)(=)(］)([nmmnsnmmn＋2＋－42)()(nmmnsnm＋2－＝－2，因为s，m，n均为正数且m≠n，所以t1－t2＜0，即t1＜t2，所以甲比乙先到达指定地点．18＊．解：(1)当a＝4时，(ax－5)(x2－a)＜0(x－45)(x－2)(x＋2)＜0，由数轴标根法得x＜－2，或45＜x＜2．故M＝{x｜x＜－2，或45＜x＜2}．(2)3∈M，且5∈M))(())((25－1－9－35－aaaa1≤a＜35，或9＜a≤25．故实数a的取值范围是{x｜1≤a＜35，或9＜a≤25}．(3a－5)(9－a)＜0(5a－5)(25－a)≥0≤0a＜35，或a＞91≤a≤25＞0(第18题)