第三章函数极限

《数学分析》教案第三章函数极限xbl--20第三章函数极限教学目的：1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质；2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；3.掌握两个重要极限和，并能熟练运用；4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。教学重（难）点：本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。教学时数：16学时§1函数极限概念（3学时）教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。教学要求：使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题，并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。教学重点：函数极限的概念。教学难点：函数极限的定义及其应用。一、复习：数列极限的概念、性质等二、讲授新课：（一）时函数的极限：《数学分析》教案第三章函数极限xbl--21以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．例1验证例2验证例3验证证……（二）时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.《数学分析》教案第三章函数极限xbl--22例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有（三）单侧极限:1．定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域《数学分析》教案第三章函数极限xbl--23然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质（3学时）教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：《数学分析》教案第三章函数极限xbl--24我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：（一）函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)（二）利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：《数学分析》教案第三章函数极限xbl--25（注意前四个极限中极限就是函数值）这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4[利用公式]例5例6例7《数学分析》教案第三章函数极限xbl--26例8例9例10已知求和补充题:已知求和()§3函数极限存在的条件（4学时）教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。教学重点：海涅定理及柯西准则。教学难点：海涅定理及柯西准则运用。教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限为例.一.Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：Th1设函数在点的某空心邻域内有定义.则极限存在,对任何且都存在且相等.(证)Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为单调趋于.参阅[1]P70.例1证明函数极限的双逼原理.《数学分析》教案第三章函数极限xbl--27例2证明例3证明不存在.二.Cauchy准则:Th2(Cauchy准则)设函数在点的某空心邻域内有定义.则存在,,证(利用Heine归并原则)Cauchy准则的否定:不存在的充要条件.例4用Cauchy准则证明极限不存在.证取例5设在[上函数↘.则极限存在,在[上有界.(简证,留为作业).§4两个重要极限（2时）教学目的：掌握两个重要极限，并能熟练应用。教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用。教学重点：两个重要极限的证明及运用。《数学分析》教案第三章函数极限xbl--28教学难点：两个重要极限的证明及运用。教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。一．（证）（同理有）例1例2.例3例4例5证明极限不存在.二.证对有例6特别当等.例7例8《数学分析》教案第三章函数极限xbl--29例9§5无穷小量与无穷大量阶的比较（2学时）教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。一.无穷小量:定义.记法.例1判断:⑴可怜虫是很小很可怜的虫;()⑵无穷小量是很小很小的量.()无穷小的性质:性质1(无穷小的和差)性质2(无穷小与有界量的积)例2无穷小与极限的关系:Th1(证)二.无穷小的阶:设时1．高阶（或低阶）无穷小：2．同阶无穷小：《数学分析》教案第三章函数极限xbl--30三．等价无穷小：Th2(等价关系的传递性).等价无穷小在极限计算中的应用:Th3(等价无穷小替换法则)几组常用等价无穷小:（见[2]）例3时,无穷小与是否等价?例4四.无穷大量:1.定义:2.性质:性质1同号无穷大的和是无穷大.性质2无穷大与无穷大的积是无穷大.性质3与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用,可仿无穷小讨论,有平行的结果.3.无穷小与无穷大的关系:无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大习题课（2学时）一、理论概述：《数学分析》教案第三章函数极限xbl--31二、范例讲析：例1设数集无界.试证明:存在数列{}使例2设为定义在上的递增函数.证明:极限存在的充要条件是函数在上有上界.例3证明:对其中是Riemann函数.例4设函数定义在内,且满足条件ⅰⅱ对有试证明是内的常值函数.例5求极限{注意=有界}例6求和.解法一又解法二，由且原式极限存在，，即.《数学分析》教案第三章函数极限xbl--32例7.求.注意时,且.先求由Heine归并原则即求得所求极限.例8求和.并说明极限是否存在.解;可见极限不存在.