第三章函数的应用章末检测(人教A版必修1)

第三章函数的应用章末检测一、选择题1．函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致区间是()A．(1,2)B．(2,3)C．(e,3)D．(e，＋∞)答案B解析f(2)＝ln2－22＝ln2－1＜1－1＝0，f(3)＝ln3－23＞1－23＝13＞0.故零点所在区间为(2,3)．2．设f(x)是区间[a，b]上的单调函数，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]()A．至少有一实根B．至多有一实根C．没有实根D．必有唯一实根答案D解析∵f(a)·f(b)＜0，∴f(x)在区间[a，b]上存在零点，又∵f(x)在[a，b]上是单调函数，∴f(x)在区间[a，b]上的零点唯一，即f(x)＝0在[a，b]上必有唯一实根．3．设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，则m不可能等于()A．1B．2C．3D．4答案A解析在同一坐标系中分别画出函数y1＝|x2－3|和y2＝a的图象，如图所示．可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解．4．方程log3x＋x＝3的解所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3，＋∞)答案C解析令f(x)＝log3x＋x－3，f(2)＝log32－1＜0，f(3)＝1＞0，所以f(2)·f(3)＜0，且函数f(x)在定义域内又是增函数，所以函数f(x)只有一个零点，且零点x0∈(2,3)，即方程log3x＋x＝3的解所在区间为(2,3)．5．某企业2012年12月份的产值是这年1月份产值的P倍，则该企业2012年度产值的月平均增长率为()A.PP－1B.11P－1C.11PD.P－111答案B解析设1月份产值为a，增长率为x，则aP＝a(1＋x)11，∴x＝11P－1.6．已知在x克a%的盐水中，加入y克b%(a≠b)的盐水，浓度变为c%，将y表示成x的函数关系式为()A．y＝c－ac－bxB．y＝c－ab－cxC．y＝c－bc－axD．y＝b－cc－ax答案B解析根据配制前后溶质不变，有等式a%x＋b%y＝c%(x＋y)，即ax＋by＝cx＋cy，故y＝c－ab－cx.7．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是()(下列数据仅供参考：2＝1.41，3＝1.73，33＝1.44，66＝1.38)A．38%B．41%C．44%D．73%答案B解析设职工原工资为p，平均增长率为x，则p(1＋x)6＝8p，x＝68－1＝2－1＝41%.8．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他去一次购买上述同样的商品，则应付款是()A．413.7元B．513.7元C．548.7元D．546.6元答案D解析购物超过200元，至少付款200×0.9＝180(元)，超过500元，至少付款500×0.9＝450(元)，可知此人第一次购物不超过200元，第二次购物不超过500元，则此人两次购物总金额是168＋4230.9＝168＋470＝638(元)．若一次购物，应付500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)．9．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列条件不正确的是()A．a＜0，b＞0，c＜0B．b2－4ac＜0C．a＋b＋c＜0D．a－b＋c＞0答案D解析因为抛物线开口向下，所以a＜0，又因为对称轴在y轴右侧，所以－b2a＞0，所以b与a异号，所以b＞0.因为抛物线与y轴交于负半轴，所以c＜0.所以A正确．因为抛物线与x轴没有交点，所以b2－4ac＜0，所以B正确．抛物线全落在x轴下方，不论x取何值，y均小于0，故x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，所以C正确．x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，所以D不正确．10．有浓度为90%的溶液100g，从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)()A．19B．20C．21D．22答案C解析操作次数为n时的浓度为(910)n＋1，由(910)n＋110%，得n＋1－1lg910＝－12lg3－1≈21.8，∴n≥21.11．用二分法判断方程2x3＋3x－3＝0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421875,0.6253＝0.24414)()A．0.25B．0.375C．0.635D．0.825答案C解析令f(x)＝2x3＋3x－3，f(0)0，f(1)0，f(0.5)0，f(0.75)0，f(0.625)0，∴方程2x3＋3x－3＝0的根在区间(0.625,0.75)内，∵0.75－0.625＝0.1250.25，∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意．12．根据统计资料，我国能源生产自1998年以来发展得很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1998年8.6亿吨，5年后的2003年10.4亿吨，10年后的2008年12.9亿吨，有关专家预测，到2013年我国能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家是以哪种类型的函数模型进行预测的？()A．一次函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数答案B解析可把每5年段的时间视为一个整体，将点(1,8.6)，(2,10.4)，(3,12.9)描出，通过拟合易知它符合二次函数模型．二、填空题13．函数f(x)＝x2－2x＋b的零点均是正数，则实数b的取值范围是________．答案(0,1]解析设x1，x2是函数f(x)的零点，则x1，x2为方程x2－2x＋b＝0的两正根，则有Δ≥0x1＋x2＝20x1x2＝b0，即4－4b≥0b0.解得0b≤1.14．若函数f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围为________．答案(1，＋∞)解析函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，如下图，由函数的图象可知a1时两函数图象有两个交点，0a1时两函数图象有唯一交点，故a1.15．方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为________．答案[－235，1]解析令f(x)＝x2＋ax－2，则f(0)＝－2＜0，∴要使f(x)在[1,5]上与x轴有交点，则需要f1≤0f5≥0，即a－1≤023＋5a≥0，解得－235≤a≤1.16．对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝a2－ab，a≤bb2－ab，ab，设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根，则m的取值范围是____．答案0，14解析由定义运算“*”可知f(x)＝2x－12－2x－1x－1，2x－1≤x－1x－12－2x－1x－1，2x－1＞x－1＝2x－142－18，x≤0－x－122＋14，x＞0，画出该函数图象可知，当直线y＝m在x轴之上与直线y＝14之间时，方程f(x)＝m恰有三个互不相等的实数根，所以0＜m＜14.三、解答题17．讨论方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由．解令f(x)＝4x3＋x－15，∵y＝4x3和y＝x在[1,2]上都为增函数．∴f(x)＝4x3＋x－15在[1,2]上为增函数，∵f(1)＝4＋1－15＝－10＜0，f(2)＝4×8＋2－15＝19＞0，∴f(x)＝4x3＋x－15在[1,2]上存在一个零点，∴方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内有一个实数解．18.某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服用药后每毫升中的含药量y(微克)与服药的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线AB是函数y＝kat(t≥1，a0，且k，a是常数)的图象．(1)写出服药后y关于t的函数关系式；(2)据测定，每毫升血液中的含药量不少于2微克时治疗疾病有效．假设某人第一次服药为早上6∶00，为保持疗效，第二次服药最迟应当在当天几点钟？(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后3小时，该病人每毫升血液中的含药量为多少微克(精确到0.1微克)?解(1)当0≤t1时，y＝8t；当t≥1时，ka＝8，ka7＝1.∴a＝22，k＝82.∴y＝8t，0≤t1，8222t，t≥1.(2)令82·(22)t≥2，解得t≤5.∴第一次服药5小时后，即第二次服药最迟应当在当天上午11时服药．(3)第二次服药后3小时，每毫升血液中含第一次所服药的药量为y1＝82×(22)8＝22(微克)；含第二次服药后药量为y2＝82×(22)3＝4(微克)，y1＋y2＝22＋4≈4.7(微克)．故第二次服药再过3小时，该病人每毫升血液中含药量为4.7微克．19．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)解(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋60－510.02＝550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．(2)当0x≤100时，P＝60；当100x550时，P＝60－0.02·(x－100)＝62－x50；当x≥550时，P＝51.所以P＝f(x)＝60，0x≤10062－x50，100x550，51，x≥550(x∈N)．(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L＝(P－40)x＝20x，0x≤10022x－x250，100x550，11x，x≥550(x∈N)．当x＝500时，L＝6000；当x＝1000时，L＝11000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．20．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定：①若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a元；②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；③每户每月的定额损耗费a不超过5元．(1)求每户每月水费y(元)与月用水量x(立方米)的函数关系式；(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：月份用水量(立方米)水费(元)一417二523三2.511试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求m，n，a的值．解(1)依题意，得y＝9＋a，0＜x≤m，①9＋nx－m＋a，x＞m.②其中0＜a≤5.(2)∵0＜a≤5，∴9＜9＋a≤14.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m立方米．将x＝4，y＝17和x＝5，y＝23分别代入②，得17＝9＋n4－m＋a，③23＝9＋n5－m＋a.④③－④，得n＝6.代入17＝9＋n(4－m)＋a，得a＝6m－16.又三月份用水量为2.5立方米，若m＜2.5，将