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数值分析，第一章1，相对误差和绝对误差e*=x*-x;er*=(𝑥∗−𝑥)𝑥⁄估计值(𝑥∗−𝑥)𝑥∗⁄2，误差限和相对误差限ε*≥|𝑥∗−x|εr*=ε∗|𝑥∗|⁄3，有效数字官方定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零有效数字共有n位，就说x*有n位有效数字。表示为：x*=±10m×（a1+a2×10-1+a3×10-2+…+an×10-（n-1））=±a1.a2a3…an。其中ai为0至9中之一，a1不为0，m，n都是整数。公式：ε*=|𝐱−𝒙∗|≤𝟏𝟐×𝟏𝟎𝒎−𝒏+𝟏相对误差限公式x*具有n为有效数字，εr*≤𝟏𝟐𝐚𝟏×10-（n-1）。若εr*≤𝟏𝟐（𝐚𝟏+𝟏）×10-（n-1），则x*至少具有n为有效数字。4，病态问题的条件数，相对误差比值x的扰动Δx=x-x*，误差为Δx𝑥，函数值f（x*）的相对误差=f（x）−f（x∗）𝑓（𝑥）相对误差比值为：|f（x）−f（x∗）𝑓（𝑥）|/|Δx𝑥|≈|xf‘（x）𝑓（𝑥）|=Cp（也称为条件数）第二章：插值法1，多项式插值P（x）为n阶多项式，P（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn，ai为实数。解法：a解方程组：Aa=y，其中A=[1𝑥0⋯𝑥0𝑛1𝑥1⋯𝑥1𝑛⋮1⋮𝑥𝑛⋱⋯⋮𝑥𝑛𝑛]，a=[𝑎0𝑎1⋮𝑎𝑛]，y=[𝑦0𝑦1⋮𝑦𝑛]2，拉格朗日插值【1】线性插值L1=yklk+yk+1lk+1插值基函数lk=𝑥−𝑥𝑘+1𝑥𝑘−𝑥𝑘+1，lk+1=𝑥−𝑥𝑘𝑥𝑘+1−𝑥𝑘【2】抛物线插值L2=yklk+yk+1lk+1+yk+2lk+2插值基函数lk=(𝑥−𝑥𝑘+1)(𝑥−𝑥𝑘+2)(𝑥𝑘−𝑥𝑘+1)(𝑥𝑘−𝑥𝑘+2)，lk+1=(𝑥−𝑥𝑘)(𝑥−𝑥𝑘+2)(𝑥𝑘+1−𝑥𝑘)(𝑥𝑘+1−𝑥𝑘+2)，lk+2=(𝑥−𝑥𝑘)(𝑥−𝑥𝑘+1)(𝑥𝑘+2−𝑥𝑘)(𝑥𝑘+2−𝑥𝑘+1)【3】N次插值多项式（通解）Ln=y0l0+y1l1+y2l2+…+ynlnlk=(𝑥−𝑥0)…(𝑥−𝑥𝑘−1)(𝑥−𝑥𝑘+1)…(𝑥−𝑥𝑛)(𝑥𝑘−𝑥0)…(𝑥𝑘−𝑥𝑘−1)(𝑥𝑘−𝑥𝑘+1)…(𝑥𝑘−𝑥𝑛)设ωn+1（x）=(𝑥−𝑥0)…(𝑥−𝑥𝑘−1)(𝑥−𝑥𝑘+1)…(𝑥−𝑥𝑛)有ω`n+1（xk）=(𝑥𝑘−𝑥0)…(𝑥𝑘−𝑥𝑘−1)(𝑥𝑘−𝑥𝑘+1)…(𝑥𝑘−𝑥𝑛)有Ln（x）=∑𝑦𝑘ωn+1（x）(𝑥−𝑥𝑘)ω′n+1（x𝑘）𝑛𝑘=0余项公式N次插值多项式的余项形式Rn=f（x）-Ln（x）=𝒇(𝒏+𝟏)(𝝃)(𝒏+𝟏)!ωn+1（x）=K(x)ωn+1（x）,𝜉∈(a,b)𝜉的位置未知，但有截断误差限：|𝑅𝑛(𝑥)|≤𝑀𝑛+1(𝑛+1)!|𝜔𝑛+1(𝑥)|,Mn+1=max𝑎≤𝑥≤𝑏|𝑓(𝑛+1)(𝑥)|3，均差（差商）一阶均差；f[x0，xk]=𝑓(𝑥𝑘)−𝑓(𝑥0)𝑥𝑘−𝑥0二阶均差：f[x0,，x1，xk]=f[𝑥0，𝑥1]−f[𝑥0，𝑥𝑘]𝑥𝑘−𝑥1高阶均差：f[x0,，x1，…，xk]=f[𝑥0，𝑥1，…，𝑥𝑘−1]−f[𝑥0，…，𝑥𝑘−2，𝑥𝑘]𝑥𝑘−𝑥𝑘−1性质：1，k阶均差可表示为函数值f（x0），f（x1），…，f（xn）的线性组合2，对称性，与节点次序无关3，【前后项】f[x0,，x1，…，xk]=f[𝑥1，…，𝑥𝑘]−f[𝑥0，…，𝑥𝑘−1]𝑥𝑘−𝑥04，※n阶均差与导数的关系：f[x0,，x1，…，xk]=𝒇(𝒏)(𝝃)𝒏!，ξ∈[a，b]。4，牛顿插值多项式逐次生成的插值多项式Pn（x）=a0+a1（x-x0）+a2（x-x0）（x-x1）+…+an（x-x0）…（x-xn-1）a0=f（x0），a1=f[x0，x1]，a2=f[x0，x1，x2]，…，an=f[x0，x1，…，xn]【余项】Rn=f[x，x0，x1，…，xn]ωn+1（x）估计截断误差限|𝑹𝒏(𝒙)|≤𝑴𝒏+𝟏(𝒏+𝟏)!𝝎𝒏+𝟏(𝒙)5，差分等距离节点xk=x0+kh，k=0，1，…，n；fk=f（xk）xk处的一阶向前差分：Δfk=fk-+1-fk，xk处的二阶向前差分：Δ2fk=Δfk-+1-Δfk；xk处的n阶差分：Δnfk=Δn-1fk-+1-Δn-1fk【差分与差商的关系】f[xk,xk+1]=𝑓(𝑥𝑘+1)−𝑓(𝑥𝑘)𝑥𝑘+1−𝑥𝑘=Δf𝑘ℎ，一般的f[xk,xk+1,…,xk+m]=𝚫𝐦𝐟𝒌𝒎!𝒉𝒎【差分与导数的关系】𝚫𝐦𝐟𝒌=hmf（m）（ξ）差分表（▽fk=fk-fk-1）差分多项式：Pn（x0+th）=f0+tΔf0+𝑡(𝑡−1)2!Δ2f0+…+𝑡(𝑡−1)…(𝑡−𝑛+1)𝑛!Δnf0前插余项Rn=𝒕(𝒕−𝟏)…(𝒕−𝒏)（𝒏+𝟏）!hn+1f（n+1）（ξ）截断误差：Rn（x）≤𝑴𝒏+𝟏𝒏+𝟏!ωn+1（x）6，埃米尔特插值要求导数值也相等一个均差的性质：【n阶差商】f[x0,，x0，…，x0]=𝟏𝒏!𝒇(𝒏)(𝒙𝟎)重要情况：n+1个节点a≤x0＜x1＜x2…＜xn≤b，满足f（xi）=fi，f’（xi）=f’I，求不超过2n+1次的多项式H2n+1（xi）=fi，H’2n+1（xi）=f’i，i=0，1，2，…n。插值基函数αj（x）、βj（x）都是2n+1次多项式，j=0，1，…，n。满足αj（xk）=δjk;α’j（xk）=δjkβj（x）=δjk;β’j（x）=δjk(j,k=0,1,…,n)则H2n+1（x）=∑(𝑓𝑗𝑎𝑗(𝑥)+𝑓’𝑗𝛽′𝑗(𝑥))𝑛𝑗=0第三章公式：1，伯恩斯多项式Bn=∑𝑓(𝑘𝑛)𝑛𝑘=0𝑝𝑘(𝑥);pk=Cnkxk(1-x)n-k2，函数范数‖𝒇(𝒙)‖∞=𝐦𝐚𝐱𝒂≤𝒙≤𝒃|𝒇(𝒙)|‖𝒇(𝒙)‖𝟏=∫|𝒇(𝒙)|𝒃𝒂𝒅𝒙‖𝒇(𝒙)‖𝟐=(∫𝒇𝟐(𝒙)𝒃𝒂𝒅𝒙)𝟏𝟐3，斯密特正交多项式：𝝋𝒊(𝒙)=xi-∑(𝒙𝒊，𝝋𝒋(𝒙))(𝝋𝒋(𝒙)，𝝋𝒋(𝒙))𝝋𝒋(𝒙)𝒊−𝟏𝒋=𝟎4，其他多项式：(1)勒让德多项式，要求区间[-1，1]，权函数为1，有P0=1，P1=x，P2=32x2−12，P3=52x3−32𝑥；递推关系：（n+1）Pn-1=（2n+1）xPn-nPn-1(2)切比雪夫多项式：要求区间[-1，1]权函数为𝟏√𝟏−𝒙𝟐，有T0=1，T1=x，T2=2x2−1，T3=4x3−3𝑥；递推关系：Tn-1=2xTn-Tn-1注意：（Pi，Pi）=22i+1；（Ti，Ti）=𝜋2（i不等于0）或π（i等于0）（Tn=cos(narccosx)）5，最佳平方逼近Ga=dS*(x)=a0φ0+a2φ2+…+anφnG={（𝜑𝑗（x），𝜑𝑘（x））}（j，k=0，1，2，…）d={（f，𝜑𝑗（x））}T（j=0，1，2，···）特殊：𝜑为勒让德多项式时，ak=2𝑘+12∫𝑓(𝑥)𝜑𝑘(𝑥)1−1dx6，内积公式连续函数f（x），g（x）在[a,b]上的带权内积：∫𝜌(𝑥)𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑏𝑎dx；离散点m个xi，f(xi)，g（xi）的带权内积：∑𝜔𝑖𝑚𝑖=0f(xi)g（xi）。7，曲线拟合G={（𝜑𝑗（x），𝜑𝑘（x））}，（𝜑𝑗（x），𝜑𝑘（x））=∑𝜔𝑖𝑚𝑖=0𝜑𝑗（xi）𝜑𝑘（xi）d={（f，𝜑𝑗（x））}T，（f，𝜑𝑗（x））=∑𝜔𝑖𝑚𝑖=0𝑓（xi）𝜑𝑗（xi）8，误差均方误差：‖𝜹‖22=(∑(𝒚𝒊−𝒚𝒊∗)𝒎𝒊=𝟎)𝟐最大误差：‖𝜹‖∞=max丨𝒇(𝒙)-S*(x)丨平方逼近误差：‖𝜹‖22=‖𝒇(𝒙)‖22-S*(x)9，最佳一致逼近（低次代高次）利用切比雪夫多项式，f（x）与T（x）在最高次项相同次数情况下相减得到的多项式P*（x）即为最佳一致逼近函数，注意变换区间，令x=12[（b-a）t+a+b],t∈[-1，1]。第四章公式1，梯形公式，辛普森公式∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝑏𝑎Tn=(𝑏−𝑎)2[𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏]Rn=−ℎ2(𝑏−𝑎)12𝑓′′(𝜉)，ξ∈[a，b]∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎=Sn=(𝑏−𝑎)6[𝑓(𝑎)+𝑓((𝑎+𝑏)2)+𝑓(𝑏)]Rn=−(𝑏−𝑎)180(ℎ2)4𝑓(4)(𝜉)，ξ∈[a，b]2，复合梯形公式，辛普森公式Tn=ℎ2[𝑓(𝑎)+2∑𝑓(𝑥𝑘)𝑛−1𝑖=1+𝑓(𝑏)]Rn=−1𝑛∑𝑓′′(𝜉𝑘)𝑛−1𝑘=0，𝜉𝑘∈（𝑥𝑘，𝑥𝑘+1）Sn=𝒉𝟔[𝒇(𝒂)+𝟒∑𝒇(𝒙𝒌+𝟏𝟐)𝒏−𝟏𝒌=𝟎+𝟐∑𝒇(𝒙𝒌)𝒏−𝟏𝒌=𝟏+𝒇(𝒃)]Rn=−ℎ180(ℎ2)4∑𝑓(4)(𝜉𝑘)𝑛−1𝑘=0，𝜉𝑘∈（𝑥𝑘，𝑥𝑘+1）3，机械求积公式∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝑏𝑎∑𝐴𝑘𝑓(𝑥𝑘𝑚𝑘=0)，代数精度为m，高斯求积公式为2m+1前提：xk为高斯点。充要条件：ωm+1（x）=（x-x0）…（x-xm）与任意不高于m次的多项式正交。余项Rn=𝑓(2𝑛+2)(𝜉)(2𝑛+2)!𝜔2𝑛+1(𝑥)4，高斯-勒让德求积公式∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=1−1∑𝐴𝑘𝑓(𝑥𝑘𝑛𝑘=0)，其中高斯点为Pn+1（x）=0的解，将𝑥𝑘代入高斯公式所得的方程组中可求𝐴𝑘Rn=𝑓(2𝑛+2)(𝜉)(2𝑛+2)!𝑃2𝑛+1(𝑥)5，高斯-切比雪夫求积公式∫1√1−𝑥2𝑓(𝑥)𝑑𝑥=1−1∑𝐴𝑘𝑓(𝑥𝑘𝑛𝑘=0)，其中高斯点为Tn+1（x）=0的解，𝑥𝑘=cos(2𝑘+12𝑛+2𝜋)k=0，1，…，n。Ak=𝜋𝑛+1也可写为∫1√1−𝑥2𝑓(𝑥)𝑑𝑥=1−1𝜋𝑛∑𝑓(𝑥𝑘𝑛𝑘=1)，𝑥𝑘=cos(2𝑘−1)2𝑛𝜋，k=1，2，…，n第五章解线性方程组的直接方法：去除矩阵论部分的基本知识点，剩余内容有;1，高斯消去法Ax=b将A按行化简为三角矩阵（等同于做多次消元过程）最后解简单方程组A（n）x=b（n）2，高斯主元素消去法列主元素消去法：若出现akk（k）=0B={𝐴|𝑏}在A的第一列中选择绝对值最大元素做为主元素，如丨ai1，1丨=max1≤i≤n丨ai1丨然后交换B的第一行与第i1行，{𝐴|𝑏}→{𝐴(2)|𝑏(2)}重复n-1次，得到{𝐴(𝑛)|𝑏(𝑛)}此时A→{𝑎11𝑎12⋯𝑎1𝑛𝑎22⋯𝑎2𝑛⋱⋮𝑎𝑛𝑛}{𝑥𝑛=𝑏𝑛𝑎𝑛𝑛𝑥𝑖=𝑏𝑖−∑𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=𝑖+1𝑎𝑖𝑖,𝑖=𝑛−1,𝑛−2,…，13，三角分解法A=LU，Lux=b，则Ly=b，Ux=y。【L，U为独立特利分解：U1i=a1i，Li1=ai1/U11，Uri=ari-∑𝑙𝑟𝑘𝑈𝑘𝑖𝑟−1𝑘=1，Lir=（air-∑𝑙𝑖𝑘𝑈𝑘𝑟𝑟−1𝑘=1）/Urr；L的主对角线为1】{𝑦1=𝑏1𝑦𝑖=𝑏𝑖−∑𝑙𝑖𝑘𝑦𝑘𝑖−1�