运用口诀判断二次函数的系数关系式

1运用口诀判断二次函数的系数关系式学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑．1．基础四看“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用．例1二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图1所示，则下列说法不正确的是()(A)b2－4ac0(B)a0(C)c0(D)b0分析根据“基础四看”，由抛物线开口向上，故a0；由对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，故b0：由抛物线与y轴交于负半轴，故c0；由抛物线与x轴有两个交点，故b2－4ac0．所以本题答案是C．例2函数y＝ax2＋bx＋c和y＝ax＋b在同一坐标系中，如图所示，则正确的是()分析对于几个函数图象组合的辨别，笔者常用的一种方法是“矛盾排除法”．对A中的图象分析可得：在抛物线中，a0，b0，c0；在直线中，a0，b0，无矛盾，可为备选答案．对B中的图象分析可得：在抛物线中，a0，b0，c0；在直线中，a0，b＝0，有矛盾，故排除．对C中的图象分析可得：在抛物线中，a0，b0，c0；在直线中，a0，b0，有矛盾，故排除．对D中的图象分析可得，在抛物线中，a0，b0，c0；在直线中，a0，b0，有矛盾，故排除．所以本题答案是A．注从上面介绍中可以看到，对于某个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象我们可以对单独的a、b、c与△进行直接判断，同时也可以对a、b、c的简单乘除组合式进行符号2判断．但如果遇到关于a、b、c间的一些加减组合式又如何来处理呢？2．组合二看(1)三全看点在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可．(2)有缺看轴当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可．例3已知二次函数（a≠0）的图象如图3所示，有下列4个结论：①2a＋b＝0；②ba＋c；③4a＋2b＋c0；④3a＋c0．其中正确的结论有()(A)1个(B)2个(C)3个D．4个分析本题中的②③三个字母都在，且符合“三全看点”的特征，其中②变形后为a－b＋c0，由f(－1)0，知a－b＋c0，不符合；③中由f(2)0，知4a＋2b＋c0，符合要求．本题中的①④字母不全，且符合“有缺看轴”的特征，其中①少c，可直接找对称轴，由对称轴方程为直线x＝－2ba＝1，即2a＋b＝0，符合要求；而④少b，显然是利用对称轴方程中b＝－2a这个关系式，将原来式子中的b代换成了a，我们可能根据“三全看点”中a、b间系数的关系进行推演，不难找到其原有的式子，或为a－b＋c，或为9a＋3b＋c，再任取其一判断，可得3a＋c0，不符合．所以本题答案是B．例4如图4，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于（x1，0），（x2，0）两点，且0x11，1x22，与y轴相交于(0，－2)．下列结论：①2a＋b1；②3a＋b0；③a＋b2；④b2＋8a0；⑤a－b2．其中正确结论的个数为()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个分析本题有一个重要数据条件“与y轴相交于（0，－2）”，即c＝－2．所以本题不少选项中的c为－2所取代，如在③中要判断a3＋b2是否正确，就是要看a＋b－20是否正确，即判断“a＋b＋c”，所以可以取x＝1得a＋b＋c0，即a＋b－20，故③错误；同样在⑤和①中，可将原来要判断的式子变为“a－b＋c”与“4a＋2b＋c”，分别取x＝－1与x＝2，即知①⑤都是错误的．由④所给的“b2＋8a0”可联想到“抛物线与x轴有两个交点”，所以由b2－4ac0即得④正确．只有②的辨别可用“有缺看轴”的方法，此抛物线的对称轴为直线x＝－2ba，由“抛物线与x轴相交于（x1，0），（x2，0）两点，且0x11，1x12”可知“12－2ba32”，且“抛物线下口向下”知“a0”，故有“a＋b0”或“3a＋b0”，可得②错误．所以本题答案是A．注与“基础四看”相比，“组合二看”的要求显然高的多，尤其是出现字母有缺时，更要求同学们能充分把握函数图象中所给的信息．3．取值计算当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断．例5从如图5所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab0；②a＋b＋c0；③b＋2c0；④a－2b＋4c0；⑤a＝32b．你认为其中正确信息的个数有()(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个分析本题可用“取值法”判断．根据对称轴取（－43，0）、(13，0)两点，再任取与y轴正半轴上的一个交点(0，1)，可求出y＝－94x2－32x＋1，即得a＝－94，b＝－32，c＝1．把它代入到①~⑤中，即可知都是正确的．所以本题答案是D．注用“取值法”在解决此类问题时，通常只要取一组适合条件的点求出解析式即可，但如果遇到抛物线在某特定范围内变化时，要判断某些字母的取值范围时，我们还要采用“取临界值法”加以研究．例6如图6所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0），顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0，2)、(0，3)之间（包括端点）．有下列结论：①当x3时，y0；②43a＋b0；③－1≤a≤－23；④83≤n≤4．其中正确的有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个分析本题由对称可知抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)，故①是正确的．由对称轴为直线x＝－2ba＝1，知b＝－2a，则3a＋b＝3a－2a＝a0，故②是错误的．这里③④用逻辑判断就比较难，这时我们可以使用“取值法”．因为“抛物线与y轴的交点在(0，2)、(0，3)之间（包括端点）”，故可以使用“取临界值法”，分别取(0，2)，(0，3)与(－1，0)，(3，0)进行计算，可求出它们所对应的两个抛物线的解析式为y＝－23(x－1)2＋83，和y＝－(x－1)2＋4，所以可知－1≤a≤－23，83≤n≤4，即③④都是正确的．所以本题答案是C．上述方法有时计算量较大，但仍有一定的实用性，笔者希望大家能够了解和掌握．