无锡市华庄中学九年级第二轮专题训练讲学稿1蚂蚁爬行的最短路径问题Ⅰ.专题精讲:当蚂蚁在一个几何体的表面上爬行时,通常情况下都会考虑将其展开成一个平面,运用勾股定理计算其最短路程,也就是运用“化曲为平”或“化折为直”的思想来解决问题.Ⅱ.典型例题剖析:一.两点之间,线段最短与勾股定理相结合台阶问题如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是.圆柱(锥)问题1.有一圆柱体如图,高4cm,底面半径5cm,A处有一蚂蚁,若蚂蚁欲爬行到C处,求蚂蚁爬行的最短距离.2.有一圆形油罐底面圆的周长为24m,高为6m,一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物,它爬行的最短路线长为.3.葛藤是一种刁钻的植物,它的腰杆不硬,为了争夺雨露阳光,常常绕着树干盘旋而上,它还有一手绝招,就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的,难道植物也懂数学?通过阅读以上信息,解决下列问题:(1)如果树干的周长(即图中圆柱体的底面周长)为30cm,绕一圈升高(即圆柱的高)40cm,则它爬行一圈的路程是多少?(2)如果树干的周长为80cm,绕一圈爬行100cm,它爬行10圈到达树顶,则树干高多少?第1题第2题无锡市华庄中学九年级第二轮专题训练讲学稿24.如图,底面半径为1,母线长为4的圆锥,一只小蚂蚁若从A点出发,绕侧面一周又回到A点,它爬行的最短路线长是.5.如图,圆锥的主视图是等边三角形,圆锥的底面半径为2cm,假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行,它要想吃到母线AC的中点P处的食物,那么它爬行的最短路程是.6.已知O为圆锥顶点,OA、OB为圆锥的母线,C为OB中点,一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A,另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B,它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示.若沿OA剪开,则得到的圆锥侧面展开图为()正(长)方体问题1.如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是.2.如图,一只小虫沿边长为1的正方体的表面从点A出发,经过3个面爬到点B.如果它运动的路径是最短的,则AC的长为.3.正方体盒子的棱长为2,BC的中点为M,一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为.第4题第5题A.B.C.D.第1题第2题第3题无锡市华庄中学九年级第二轮专题训练讲学稿3ABA1B1DCD1C1214ABA1B1DCD1C12144.如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发,沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示),问怎样走路线最短?最短路线长为.5.如图,长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点,则蚂蚁爬行的最短路径长为.变式:如图,长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要cm.6.(1)如图①,一个无盖的长方体盒子的棱长分别为BC=3cm、AB=4cm、AA1=5cm,盒子的内部顶点C1处有一只昆虫甲,在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙(盒壁的厚度忽略不计).假设昆虫甲在顶点C1处静止不动,请计算A处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲C1处的最短路程.并画出其最短路径,简要说明画法.(2)如果(1)问中的长方体的棱长分别为AB=BC=6cm,AA1=14cm,如图②,假设昆虫甲从盒内顶点C1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行,同时昆虫乙从盒内顶点A以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行,那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲?第5题变式题图无锡市华庄中学九年级第二轮专题训练讲学稿4研究课题:蚂蚁怎样爬最近?研究方法:如图1,正方体的棱长为5cm,一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处,要求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长,可将该正方体右侧面展开,由勾股定理得最短路程的长为AC1=AC2+CC12=102+52=55cm.这里,我们将空间两点间最短路程问题转化为平面内两点间距离最短问题.研究实践:(1)如图2,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为6cm,一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处,蚂蚁需要爬行的最短路程的长为.(2)如图3,圆锥的母线长为4cm,圆锥的侧面展开图如图4所示,且∠AOA1=120°,一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发,沿圆锥侧面爬行一周回到点A.求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长.(3)如图5,没有上盖的圆柱盒高为10cm,底面圆的周长为32cm,点A距离下底面3cm.一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处.请求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长.