两角和和差的正弦、余弦、正切

两角和和差的正弦、余弦、正切1/15§4.5两角和与差的正弦、余弦、正切1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(Cα－β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(Cα＋β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(Sα－β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(Sα＋β)tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ(Tα－β)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ(Tα＋β)2．二倍角公式sin2α＝2sin_αcos_α；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝2tanα1－tan2α.3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如Tα±β可变形为tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)，tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtanα＋β＝tanα－tanβtanα－β－1.4．函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)或f(α)＝a2＋b2cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．1．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tanαtanβ的值为_______．答案713解析由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝23，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－15，得sinαcosβ＝730，cosαsinβ＝1330，两角和和差的正弦、余弦、正切2/15所以sinαcosβcosαsinβ＝tanαtanβ＝713.2．函数f(x)＝2sinx(sinx＋cosx)的单调增区间为______________________．答案－π8＋kπ，3π8＋kπ(k∈Z)解析f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx＝2×1－cos2x2＋sin2x＝sin2x－cos2x＋1＝2sin2x－π4＋1，由－π2＋2kπ≤2x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π8＋kπ≤x≤3π8＋kπ，k∈Z.所以所求区间为－π8＋kπ，3π8＋kπ(k∈Z)．3．(2012·江苏)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．答案17250解析∵α为锐角且cosα＋π6＝45，∴sinα＋π6＝35.∴sin2α＋π12＝sin2α＋π6－π4＝sin2α＋π6cosπ4－cos2α＋π6sinπ4＝2sinα＋π6cosα＋π6－222cos2α＋π6－1＝2×35×45－222×452－1＝12225－7250＝17250.4．(2012·江西)若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，则tan2α等于()A．－34B.34C．－43D.43答案B两角和和差的正弦、余弦、正切3/15解析由sinα＋cosαsinα－cosα＝12，等式左边分子、分母同除cosα得，tanα＋1tanα－1＝12，解得tanα＝－3，则tan2α＝2tanα1－tan2α＝34.5．(2011·辽宁)设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ等于()A．－79B．－19C.19D.79答案A解析sin(π4＋θ)＝22(sinθ＋cosθ)＝13，将上式两边平方，得12(1＋sin2θ)＝19，∴sin2θ＝－79.题型一三角函数式的化简、求值问题例1(1)化简：1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2；(2)求值：[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°.思维启迪：切化弦；注意角之间的联系及转化．解(1)1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2＝cosα2sinα2－sinα2cosα2·1＋sinαcosα·sinα2cosα2＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2·cosαcosα2＋sinαsinα2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα2cosαcosα2＝2sinα.(2)原式＝2sin50°＋sin10°×cos10°＋3sin10°cos10°·2sin80°两角和和差的正弦、余弦、正切4/15＝2sin50°＋2sin10°×12cos10°＋32sin10°cos10°×2cos10°＝22[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝6.探究提高(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有①化为特殊角的三角函数值；②化为正、负相消的项，消去求值；③化分子、分母出现公约数进行约分求值．在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tanA2＋tanC2＋3tanA2tanC2的值为________．答案3解析因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝2π3，A＋C2＝π3，tanA＋C2＝3，所以tanA2＋tanC2＋3tanA2tanC2＝tanA2＋C21－tanA2tanC2＋3tanA2tanC2＝31－tanA2tanC2＋3tanA2tanC2＝3.题型二三角函数的给角求值与给值求角问题例2(1)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．思维启迪：(1)拆分角：α＋β2＝α－β2－α2－β，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦．(2)2α－β＝α＋(α－β)；α＝(α－β)＋β.解(1)∵0βπ2απ，两角和和差的正弦、余弦、正切5/15∴－π4α2－βπ2，π4α－β2π，∴cosα2－β＝1－sin2α2－β＝53，sinα－β2＝1－cos2α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝130，∴0απ2，又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴02απ2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.探究提高(1)注意变角α－β2－α2－β＝α＋β2，可先求cosα＋β2或sinα＋β2的值．(2)先由tanα＝tan[(α－β)＋β]，求tanα的值，再求tan2α的值，这种方法的优点是可确定2α的取值范围．(3)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．两角和和差的正弦、余弦、正切6/15(4)解这类问题的一般步骤：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2，求β.解∵0βαπ2，∴0α－βπ2.又∵cos(α－β)＝1314，cosα＝17，0βαπ2，∴sinα＝1－cos2α＝437，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.∵0βπ2，∴β＝π3.题型三三角变换的简单应用例3已知f(x)＝1＋1tanxsin2x－2sinx＋π4·sinx－π4.(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈π12，π2，求f(x)的取值范围．思维启迪：(1)化简f(x)，由tanα＝2代入求f(α)；(2)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，求f(x)的取值范围．解(1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋2sinx＋π4·cosx＋π4＝1－cos2x2＋12sin2x＋sin2x＋π2＝12＋12(sin2x－cos2x)＋cos2x＝12(sin2x＋cos2x)＋12.由tanα＝2，得sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝45.两角和和差的正弦、余弦、正切7/15cos2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－35.所以，f(α)＝12(sin2α＋cos2α)＋12＝35.(2)由(1)得f(x)＝12(sin2x＋cos2x)＋12＝22sin2x＋π4＋12.由x∈π12，π2，得5π12≤2x＋π4≤5π4.∴－22≤sin2x＋π4≤1,0≤f(x)≤2＋12，所以f(x)的取值范围是0，2＋12.探究提高(1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin2α，cos2α化为正切tanα，为第(1)问铺平道路．(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．已知函数f(x)＝3sin2x－π6＋2sin2x－π12(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值时x的集合．解(1)因为f(x)＝3sin2x－π6＋1－cos2x－π12＝2[32sin2x－π6－12cos2x－π6]＋1＝2sin2x－π6－π6＋1＝2sin2x－π3＋1，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)当f(x)取得最大值时，sin2x－π3＝1，此时2x－π3＝2kπ＋π2(k∈Z)，即x＝kπ＋5π12(k∈Z)，所以所求x的集合为{x|x＝kπ＋5π12，k∈Z}．两角和和差的正弦、余弦、正切8/15利用三角变换研究三角函数的性质典例：(12分)(2011·北京)已知函数f(x)＝4cosx·sinx＋π6－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π6，π4上的最大值和最小值．审题视角(1)问首先化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的形式，由T＝2πω求得；(2)问由x∈－π6，π4求得ωx＋φ的范围，从而求得最值．规范解答解(1)因为f(x)＝4cosxsinx＋π6－1＝4cosx32sinx＋12cosx－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，[4分]所以f(x)的最小正周期为π.[6分](2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3.[8分]于是，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，