【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)

三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：一．知识点总结1）O是ABC的重心0OCOBOA;若O是ABC的重心，则ABCAOBAOCBOCS31SSS故0OCOBOA;1()3PGPAPBPCG为ABC的重心.2）O是ABC的垂心OAOCOCOBOBOA;若O是ABC(非直角三角形)的垂心，则CtanBtanAtanSSSAOBAOCBOC：：：：故0OCCtanOBBtanOAAtan3）O是ABC的外心|OC||OB||OA|(或222OCOBOA)若O是ABC的外心则C2sin:B2sin:A2sinAOBsinAOCsinBOCsinSSSAOBAOCBOC：：：：故0OCC2sinOBB2sinOAA2sin4）O是内心ABC的充要条件是0)|CB|CB|CA|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA,BC,AB的单位向量为321e,e,e，则刚才O是ABC内心的充要条件可以写成：0)ee(OC)ee(OB)ee(OA322131O是ABC内心的充要条件也可以是0OCcOBbOAa若O是ABC的内心，则cbaSSSAOBAOCBOC：：：：故0OCCsinOBBsinOAAsin0OCcOBbOAa或;||||||0ABPCBCPACAPBPABC的内心;向量()(0)||||ACABABAC所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；二．范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACACABABOAOP，,0则P点的轨迹一定通过ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心ACB1eC2eCPBCHA图6解析：因为ABAB是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为21ee和，又APOAOP，则原式可化为)(21eeAP，由菱形的基本性质知AP平分BAC，那么在ABC中，AP平分BAC，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先ABAB是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2．H是△ABC所在平面内任一点，HAHCHCHBHBHA点H是△ABC的垂心.由ACHBACHBHAHCHBHCHBHBHA00)(,同理ABHC，BCHA.故H是△ABC的垂心.（反之亦然（证略））例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则P是△ABC的（D）A．外心B．内心C．重心D．垂心解析:由0PCPBPBPAPCPBPBPA得.即0,0)(CAPBPCPAPB即则ABPCBCPACAPB,,同理所以P为ABC的垂心.故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合。变式：若H为△ABC所在平面内一点，且222222ABHCCAHBBCHA则点H是△ABC的垂心证明:2222BCCAHBHABACBCABAHBHA)()(BACBCAHBHA)(得0即BAHCHC)(0HCAB同理HBAC，HABC故H是△ABC的垂心(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4．G是△ABC所在平面内一点，GCGBGA=0点G是△ABC的重心.证明作图如右，图中GEGCGB连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将GEGCGB代入GCGBGA=0，得EGGA=0GDGEGA2，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））例5．P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心)(31PCPBPAPG.证明CGPCBGPBAGPAPG)()(3PCPBPACGBGAGPG∵G是△ABC的重心∴GCGBGA=0CGBGAG=0，即PCPBPAPG3由此可得)(31PCPBPAPG.（反之亦然（证略））例6若O为ABC内一点，0OAOBOC，则O是ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心解析：由0OAOBOC得OBOCOA，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则OBOCOD，由平行四边形性质知12OEOD，2OAOE，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为21。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。变式：已知DEF，，分别为ABC△的边BCACAB，，的中点．则ADBECF0．证明：GCCFGBBEGAAD232323)(23GCGBGACFBEAD0GCGBGAADBECF0．．变式引申：如图4，平行四边形ABCD的中心为O，P为该平面上任意一点，则1()4POPAPBPCPD．证明：1()2POPAPC，1()2POPBPD，1()4POPAPBPCPD．点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P与O重合，则上式变OAOBOCOD0．(四)．将平面向量与三角形外心结合考查ABCEDOAB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF例7若O为ABC内一点，OAOBOC，则O是ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心解析：由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。故O是ABC的外心，选B。点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。(五)将平面向量与三角形四心结合考查例8．已知向量1OP，2OP，3OP满足条件1OP+2OP+3OP=0，|1OP|=|2OP|=|3OP|=1，求证△P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）证明由已知1OP+2OP=-3OP，两边平方得1OP·2OP=21，同理2OP·3OP=3OP·1OP=21，∴|21PP|=|32PP|=|13PP|=3，从而△P1P2P3是正三角形.反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有1OP+2OP+3OP=0且|1OP|=|2OP|=|3OP|.即O是△ABC所在平面内一点，1OP+2OP+3OP=0且|1OP|=|2OP|=|3OP|点O是正△P1P2P3的中心.例9．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：112222,0)(,)(,)22222xxxyxyEFD（、、由题设可设1324,)(,)2xQyHxy（、,122(,)33xxyG212243(,)(,)222xxyAHxyQFy，212(,)BCxxy2212422142()0()AHBCAHBCxxxyyxxxyy212223221232()()0222()22QFACxxyQFACxyyxxxyyy121221224323()(,),)22xxxxxxyQHxyy2（22y2112212221232122122122122()(,),)3233223()23()1(,)(,)6321=3xxxyxxyxxxyQGyxxxxxyxxxxxyQH222（62y66y22y即=3QHQG，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。例10．若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证OCOBOAOH.证明若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.∴ABAD，BCCD.又垂心为H，BCAH，ABCH，∴AH∥CD，CH∥AD，∴四边形AHCD为平行四边形，∴OCDODCAH，故OCOBOAAHOAOH.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11．设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证OHOG31证明按重心定理G是△ABC的重心)(31OCOBOAOG按垂心定理OCOBOAOH由此可得OHOG31.三、与三角形的“四心”有关的高考连接题及其应用例1：（2003年全国高考题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足)(ACACABABOAOP，,0，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心事实上如图设,ABABAEACACAF都是单位向量易知四边形AETF是菱形故选答案B例2：（2005年北京市东城区高三模拟题）O为△ABC所在平面内一点，如果OAOCOCOBOBOA，则O必为△ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心事实上00)(OBCAOBOCOAOCOBOBOAOB⊥CA故选答案D例3：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足222222ABOCCAOBBCOA，则点O是三角形ABC的（）AFECTB（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心事实上由条件可推出OAOCOCOBOBOA故选答案D例4：设O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足)coscos(CACACBABABOAOP，,0，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心事实上0)()coscos(BCBCBCCACACBABAB故选答案D例5：2005年全国（I）卷第15题“ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，()OHmOAOBOC，则实数m=________”先解决该题：作直经BD，连DA，DC,有OBOD，DAAB，DCBC，AHBC，CHAB，故//CHDA，//AHDC故AHCD是平行四边形，进而AHDC，又DCOCOD