激光原理第三章.

第三章高斯光束一、高斯光束的基本性质二、高斯光束的传输三、高斯光束通过薄透镜的变换四、高斯光束的聚焦五、高斯光束的自再现变换和ABCD定律在光学谐振腔中的应用六、高斯光束的匹配七、高斯光束的准直第一节高斯光束的基本性质一、波动方程的基模(TEM00模)高斯光束在标量近似下稳态传播的电磁场满足的赫姆霍茨方程：0020uku这里标量u0表示相干光的场分量,式中u0与电场强度的复表示u之间的关系为:0ituue可以证明它不是上述亥姆霍兹方程的精确解,它是在缓变振幅近似下的一个特解,它可被表示为:(3-1-1)(3-1-2)0(,,)ikzuxyze这里(x,y,z)可看成是振幅函数,一般是一个沿z轴缓慢变化的复函数.222220ikxyz设该方程的试探解:22exp{[()()]}2()kiPzxyqzP(z)为与光波传输有关的复相移,q(z)是复光束参数,即复曲率半径,表示光强距离轴距离r呈高斯变化,也表示xy平面上的相移,将(3-1-4)代入(3-1-3)式得：(3-1-3)(3-1-4)2222()2()()kkixyqzqz2()()22202()dPzdqzkixydzdzqz(3-1-5)将x和y的同次幂项合并在一起得:222222()()[]()[22]0()()()kdqzkkdPzxyikqzdzqzqzdz欲使该式对x和y的任何值都成立,要求x和y同次幂的系数之和分别等于零.结果可得下列两个简单的常微分方程:()1()()dqzdzdPzidzqz(3-1-6)(3-1-7)由（3-1-6）式与其他参量无关，所以先讨论它的解及其含义。它的解很简单：0()qzqz（3-1-8）场的相对振幅rZ=010.3680图3-1-1场在横向平面上的变化q0是z=0处的复光束参数,适当选择z=0,就可消去q0的实部,因此q0为虚数,令q0=iz0上式可写为:0()qzziz将（3-1-9）式代入（3-1-4）式,并令z=0,得z=0处基模的振幅分布:（3-1-9）200(0)exp()exp[(0)]2krzipzz（3-1-10）第一指数项是实数，当时,振幅下降到中心值的,此时的r值定义为光斑尺寸(光斑半径),用0表示,则：202rzk1e22000002,zzzk200iq(3-1-11)0.368(3-1-12)如图3-1-1在任意z处,q值按3--1--7式变化,下面讨论q的倒数0222200011()zziqzzizzzzz(3-1-13)将（3-1-13）代入（3-1-4）可得：220222200{exp[]}{exp[]}{exp[()]}2()2()kzrikzriPzzzzz在上式的第一个指数因子中，乘以的项是一个标度的长度，并把它称为光束的光斑尺寸，它是Z的函数：2222000022()()[1]zzzzzkzkz（3-1-14）222020()[1()]zz（3-1-15）2r利用（3-1-11）式，则上式可写成：再将（3-1-14）式中的第二个指数因子中的有关项写成：R(z)=z1(z2+z0)2=z[1+()]0z22（3-1-16）根据第二章第七节可以清楚滴了解（3-1-15）式和（3-1-16）式的物理意义。现在讨论（3-1-7）式的解，把（3-1-8）式代入（3-1-7）式，表示P（z）与q（z）的关系0()()dPziidzqzzq（3-1-17）上式关于参数P的解为：20()ln[1()]ziPzi现在我们利用关系式:21/22220001()[1()]exp[arctan()]zzzii(3-1-17)0000lnlnzdzipzzqqzq则上式成为0ln(1)zPiq（3-1-18)将（3-1-12）代入（3-1-18）式，得：求出P(z)的实部和虚部:21/22200()ln[1()]arctan()zziPzi这样,我们感兴趣的指数项变为:221/20200201exp[()]exp[arctan()][1()]=exp[arctan()]()ziPzizziz将(3-1-20),(3-1-14)代入(3-1-2)式,并考虑到前面所作的各种定义,求得波动方程的解:(3-1-20)(3-1-19)u0(x,y,z)={exp[-]}0(z)r22(z)振幅因子exp{-i[kz-arctan()]}z02纵向相位exp[-i]kr22R(z)径向相位(3--1--21)（3-1-21）式是波动方程（3-1-22）式的一个特解，叫做基模（TEM00）高斯光束。光束参数R（z）表示等相面的曲率半径，w(z)表示光斑半径，表示附加相位。由该式可见基模高斯光束的性质，包括场分布及传输特点，主要由下面三个参数决定：20tanzarcw200220011zzwwzwzw])(1[)1()(2020zzzzwzzR200wz与轴线交于z点的等相平面上的光斑半径与轴线相交于z点的高斯光束等相位面的曲率半径基模光束腰斑半径])(2exp[)arctan(expexp{,,2202200zRkriwzkzizwrzwwzyxu二、基模高斯光束的性质1、振幅：在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的规律从中心向外平滑降落。光斑半径随z的变化规律为：200220011zzwwzwzw光斑半径随着坐标z按双曲线规律变化：1202202zzwzww(z)w020ZR=fR(f)=2fw(z)R(Z)图3-1-2高斯光束通过截面的轮廓2、高斯光束的相移和等相位面分布基模高斯光束的相移特性由相位因子决定)arctan(])(2[,,202wzzRrzkzyx它描述高斯光束在点(r,z)处相对于原点(0,0)处的相位滞后，其中描述几何相位为描述高斯光束在空间行进距离z时相对几何相移的附加相位超前，因子描述与径向有关的相移。在近轴条件下，高斯光束的等相位面是以R（z）位半径的球面，由（3-1-16）式决定。由此可得等相位面的曲率半径R和传播距离z的关系曲线，如图3-1-3所示，下面对该曲线进行讨论：kz)arctan(20wz)(22zRkr(3-1-22)0z1.R，束腰处的等相位面为平面，曲率中心在无穷远处0zz2.02)(zzR为最小值0zz3.zzR)(在远场处可将高斯光束近似为一个由z=0发出，半径为z的球面波z4.,R无穷远处等相位面为平面，曲率中心在z=0处图3-1-33、瑞利长度取时，这段长度内,可近似认为高斯光束是平行的,这段距离为高斯光束的准直距离.所以瑞丽长度越长，就意味着高斯光束准直范围越大，并可看到，高斯光束的最小光斑半径越大，它的准直性越好，准直距离越长。由图（3-1-3）式可知，瑞利长度的物理意义为：当时，则，即光斑从最小半径,增大到。这个范围是瑞利范围，从最小光斑处算起的这个长度叫瑞丽长度。200wz02w0zz002wwz0wRzz0z0w4、远场发散角远场发散角：高斯光束振幅减小到中心最大值1/e处与z轴的交角。z包含在全角发散角范围内的功率占高斯基模光束总功率的86.5％21/0()limezwzzfw21/2e为全角发散角，是直径2光束可能具有的最小发散角。（3-1-23)0w三、高阶高斯光束波动方程在直角坐标下可解得横截面内的场分布，它可由厄米多项式与高斯函数乘积描述：])(2exp[)arctan()1(expexp])(2[])(2[,,220220zRkriwznmkzizwrzwyHzwxHzwwCzyxunmmnmn（3-1-24)式中是归一化常数。当m0,n=0时，上式退化为基模高斯光束的表达式（3-1-21），式中和分别为m阶和n阶厄米多项式。mnc2()xwzmH2()ywznH1、垂直于光轴的横截面上的厄米－高斯分布高阶高斯光束在垂直于光轴的横截面上场振幅或光强的分布由厄米多项式与高斯函数的乘积决定：])(2[])(2[exp22zwyHzwxHzwrnm对应着不同整数m和n，场振幅的横向分布不同2、高阶模的总相移、波面的曲率半径光斑半径高阶模的总相移与模阶数m和n有关，表示为)arctan()1())(2(,,202wznmzRrzkzyx（3-1-25)相移因子随模阶数的变化导致了谐振腔中不同横模之间谐振频率的差异.高阶模波面的曲率半径R(z)与模阶数m和n无关，说明在同一传播距离z处，各阶厄米－高斯光束波面的曲率半径都相同，且随z的变化规律也相同。高阶光束的光斑半径和光束发散角也随模阶数m和n而增大。3、波动方程在圆柱坐标系统下的场分布在圆柱坐标下，高阶高斯光束场的形式：由拉盖尔多项式与高斯函数乘积描述：llzRriwzlpkzizwrzwrLzwrzwwCzrulplplplsincos])(2exp[)arctan()21(expexp][])(2[,,22022220上式中为常数，为缔合拉盖尔多项式，在垂直于光束的任意一个截面上，如果省略掉常数因子，振幅部分的表达式为：（3-1-26)lpc22()lprLwzllzwrzwrLzwrzrAlplplsincosexp]2[])(2[,,2222（3-1-27))arctan()21())(2(,,202wzlpzRrzkzr在圆柱坐标系统中，高阶光束的光斑半径和光束发散角也随模阶数p和而增大。四、高斯光束的孔径根据（3-1-21）式：])(2exp[)arctan(expexp{,,2202200zRriwzkzizwrzwwzyxu式（3-1-27）表示沿径向r和p个节线圈，沿辐射角方向有l根节线。模高斯光束的总相移为：plTEM（3-1-28）l基模(TEM00模)高斯光束在某一横截面上的光场振幅分布和光强分布：220exp)(wrArA2202exp)(wrIrIr为从光斑中心算起的距离，w为该截面处的光斑尺寸功率透过率T：开孔半径为a的圆孔，高斯光束通过半径为a的圆孔的功率Pa与总的功率P之比。)2exp(1)()(22020020wardrdrIrdrdrIPPTaa高斯光束功率透过率与孔径的关系：w21ww23w2孔径半径a透过功率百分比39.300086.500098.890099.9877（3-1-29）3-1-30（3-2-31）透过功率1.00.50.00~86%~99%d=w1a/w2a2w图3-1-4高斯光束通过功率与孔径关系第二节高斯光束的传输一、普通球面波在自由空间的传播规律普通球面波波前曲率半径随传播过程的变化为：R1(z)R2(z)z1z2zL00`R1R2zz`11122()()RzzRzRzzzRzL