灰序列与灰色建模

第二节灰序列生成与灰色系统建模灰序列生成将原始数据列中的数据,按某种要求作数据处理称为生成.客观世界尽管复杂,表述其行为的数据可能是杂乱无章的,然而它必然是有序的,都存在着某种内在规律,不过这些规律被纷繁复杂的现象所掩盖,人们很难直接从原始数据中找到某种内在的规律.对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去发现内在规律.常用的灰序列生成方式有:•累加生成•累减生成•均值生成•级比生成1累加生成累加生成是对原始数据列中各时刻的数据依次累加,得到新的数据与数列.累加前的数列称原始数列,累加后的数列称为生成数列.累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法,它在灰色系统理论中占有极其重要地位,通过累加生成可以看出灰量积累过程的发展态势,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化.(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)[(1),(2),,()],,[(1),(2),,()],:xxxxxnxxxxxnxx令为原始序列,记生成序列为如果与之间满足如下关系(1)(0)1()();1,2,,(21)kixkxikn,1()AGOAccumulatingGenerationOperator一次累加生成则称为记为:r次累加生成有下述关系()(1)1()()(22)krrixkxi(22),1:rr从式又有次到次的累加为1()(1)(1)(1)(1)1()()()(1)()krrrrrixkxixkxkxk()(1)(2)111()()(())kkirrriijxkxixj累加生成在灰色系统理论中有着非常重要的地位,它能使任意非负数列,摆动的或非摆动的,转化为非减的的,递增的数列.2累减生成累减生成,即对数列求相邻两数据的差,累减生成是累加生成的逆运算,常简记为IAGO(InverseAccumulatedGeneratingOperation),累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模过程中用来获得增量信息,其运算符号为∆.()()(),,:rrixrxi令为次累加生成数列对作次累减生成记为其基本关系式为(0)()()(1)()(0)()(0)()(2)()(1)()(1)()()()(1)()(1)()[()]()[()][()][(1)][()][()][(1)](25)[()][()][(1)]rrrrrrrriririrxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxk(0)(1)(),(0)0,;(0)1(0)11.ikkikki式中为次累减即无累减为1次累减,即与时刻两个零次累减量求差,为次累减,即与时刻两个次累减量求差(25):从式还可得到以下关系(1)()(0)()(0)()()()1(1)(1)11(1)[()][()][(1)]()(1)(26)()()()rrrrrkkrriirxkxkxkxkxkxixixk(2)()(1)()(1)()(1)(1)1(2)(2)11(2)[()][()][(1)]()(1)(27)()()()rrrrrkkrriirxkxkxkxkxkxixixk:同理可得()()()[()]()(28)irrixkxk()()(0)[()]()(29)rrxkxk(29),,.,,.:1,rrr从式可以看出对次累加生成数列作次累减即还原为非生成数列事实上累加中包含着累减累减中包含着累加比如时有1(1)(0)(0)(0)11(1)(0)()()()()(1)()(210)kkiixkxixixkxkxk(0)(1)(1)()()(1)xkxkxk进一步有(1)()()()()(1)(211)rrrxkxkxk.上述关系式经常被用在从生成数列求还原数列中3均值生成邻均值生成非邻均值生成,{(1),(2),(1),(),()},(),()0.5(1)0.5(),()xxxxkxkxnkzkzkxkxkzk就是对于等时距的数列,用相邻数据的平均值构造新的数据.即若有原始数列记点的生成值为且则称为邻均值生成数,显然,这种生成是相邻值的等邻均值生成权生成.,{(1),(2),(1),(),(1),()},(),(),()0.5(1)0.5(1),()xxxxkkxkxnkkzkzkxkxkzk就是对于非等时距的数列,或虽为等时距数列,但剔除异常值之后出现空穴的数列,用空穴两边的数据求平均值构造新的数据以填补空穴,即若有原始数据这里为空穴记点的生成值为且则称为非邻均值生成数,显然,这种生成是空穴前后信息的非邻均值生成等权生成.4级比生成级比生成是一种常用的填补序列端点空穴的方法.对数列端点值的生成,我们无法采用均值生成填补空缺,只能采用级比生级比生成.成是级比级比生(k成在建模中可以获得较好的灰)与光滑比(k)生成指数律.的总称.(0)(0)(0)(0)[(1),(2),,()],(),(),xxxxnkk设序列为原始序列称为级比为光滑比其表达式为(0)(0)(0)(1)()()/(1)()()/(1)(212)kxkxkkxkxk(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)[(1),(2),,(1),()],(1)(1),()(),(1)()(2)(1)(3)()(1)(1)xxxnnxnxnxxnxxxnxnn设为端点是空穴的序列若用右邻的级比生成用的左邻级比生成则称和为级比生成(0)(0)(0)(0)2(0)(0)(0)(0)(0)[(1),(2),,(1),()],((2))(1)(3)(2)()(1)(1(1))xxxnnxxxxxnxnn设为端点是空穴的序列若用光滑比生成GM（1.1）灰色系统建模原始序列把原始序列想像为一个动态系统的响应(输出)？GM（1.1）:G表示gray（灰色），m表示model（模型），Gm（1，1）表示1阶的、1个变量的模型。(0)(0)(0)(0)(1),(2),,()xxxxn1GM(1.1)模型建模机理一阶微分方程模型,其形式为:xaxudxaxudt1GM(1.1)模型建模机理:由导数定义知0()()limtdxxttxtdtt1,t当很小时并且取很小的单位时则近似地有(1)()xxtxtt写成离散形式为(1)(1)()((1))xxkxkxkt(1),xxkt这表示是的一次累减生成(0)()(1.1)xkGM于是的白化形式的微分方程为(1)(1)dxaxudt,,au其中为待定参数设非负原始序列(0)(0)(0)(0)(1),(2),,()xxxxn(0),x对作一次累加得到生成数列为(1)(1)(1)(1)(1),(2),,()xxxxn(1)0,()()kixkxi其中(0)()(1.1)xkGM的白化形式的微分方程为(1)(1)dxaxudtGM定义：(1，1)模型为(1)(1)(1)((1))((1))xkazxku(1)(1)(1)(1)(1),((1))(1),(1))(1)xkxkdxzkkdt其中为在时刻的累减生成序列为在时刻的背景值.(1)(1)(1)1(1)[(1)()]2zkxkxk因为(1)(1)(1)(1)(0)((1))(1)()(1)xkxkxkxk(1)(1)(1)1(1)((1)())2zkxkxk将上式代入,得(0)(1)(1)1(1)[(()(1))]2xkaxkxku展开得(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)1((1)(2))12(2)1((2)(3))1(3)(221)2()1((1)())12xxxxxxxnxnxn(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)1((1)(2))12(2)1((2)(3))1(3),2()1((1)())12xxxxxxYBxnxnxn令[],(221)Tau为待辨识参数向量则可写成(222)YB参数向量可用最小二乘法求取,即1ˆˆˆ[,]()(223)TTTauBBBY(216),把求取的参数代入式并求出其离散解为ˆ(1)(1)ˆˆˆ(1)[(1)](224)ˆˆakuuxkxeaa还原到原始数据得(0)(1)(1)ˆˆ(1)ˆˆˆ(1)(1)()ˆ(1)[(1)](225)ˆaakxkxkxkuexea(224),(225)(1.1),(1.1).GMGM式称为模型的时间相应函数模型它是模型灰色预测的具体计算公式反映了与的发展态势。一般情况下，系统作用量应是外生的或者前定的，而GM(1,1)是单序列建模，只用到系统的行为序列（或称输出序列，背景值），而无外生作用序列（或称输入序列，驱动量）。ˆa(0)ˆx(1)ˆx2GM(1.1)模型的精度检验模型选定之后,一定要经过检验才能判定其是否合理,只有通过检验的模型才能用来作预测.灰色模型的精度检验一般有三种方法:1)相对误差大小检验法2)关联度检验法3)后验差检验法1）相对误差检验法(1)(1)(0)ˆˆ(1.1),ˆ,GMXXX设按建模法已求出并将做一次累减转化为即(0)(0)(0)(0)ˆˆˆˆ[(1),(2),,()](231)Xxxxn计算残差得(0)(0)ˆ[(1),(2),,()](232)EeeenXX(0)(0)ˆ,()()(),1,2,,ekxkxkkn其中计算相对误差得(0)()()100%,1,2,,(233)()ekrelkknxk计算平均相对误差得11(),(234)nkrelrelkn2）后验差检验法(0)(0)2212ˆ(1.1)(231),(232),,GMXXESS设按建模法所求出的如所示残差如所示原始序列及残差序列的方差分别为和则2(0)21122211[()]1[()](235)nknkSxkxnSeken(0)1111,(),()nnkkxxkeeknn其中计算后验差比为21/(236)CSS计算小误差概率为1()0.6745(237)pPekeS1212,.CpCCSSSSC指标和是后验差检验的两个重要指标.指标越小越好越小表示大而越小大表示原始数据方差大,即原始数据离散程度大.小表示残方差小,即残差离散程度小.小就表明尽管原始数据很离散,而模型所得计算值与实际值之差并不太离散.1,,0.6745,,,.ppCp指标越大越好越大表明残差与残差平均值之差小于给定值的点较多即拟合值(或预测值)分布比较均匀.按两个指标可综合评定预测模型的精度模型的精度由后验差和小误差概率共同刻划.一般地,将模型的精度分为四级,见表2-1模型精度等级均方差比值C小误差概率p1级（好）C=0.350.95=p2级（合格）0.35C=0.50.80=p0.953级（勉强）0.5C=0.650.70=p0.804级（不合格）0.65CP0.7021表精度检验等级参照表,,MaxpC模型的精度级别的级别于是的级别3）关联度检验法灰关联分析实质上就是比较数据到曲线几何形状的接近程度,一般来说,几何形状越接近,变化趋势也就越接近,关联度就越大.因而在进行关联分析时,必须先确定参考数列,然后比较其它数列同参考数列的接近程度,这样才能对其它数列进行比较,进而做出判断