灰色模型-徐虹1214

徐虹1120120145灰色系统理论及其应用灰色系统概念灰色关联度分析原理及应用灰色预测模型原理及应用灰色系统介绍■华中科技大学的邓聚龙教授80年代初创立的灰色系统是新兴的横断学科。在短短的二十年里已得到了长足的发展。■目前，已经成为社会、经济、科教、技术等很多领域进行预测、决策、评估、规划、控制、系统分析和建模的重要方法之一。■特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的建模与分析，具有独特的功效。灰色系统的基本概念灰色系统:指部分信息已知而部分信息未知的系统。灰色系统理论所要考察和研究的是信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的。黑色系统:指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的。白色系统:指一个系统的内部特征是完全已知的。灰色关联度分析灰色预测模型灰色关联度分析的原理及应用什么是灰色关联度灰色关联度如何计算灰色关联度如何应用灰色关联度分析概念为了通过一定的方法理清系统中各因素间的主要关系，找出影响最大的因素，把握矛盾的主要方面，灰色系统理论提出了关联度分析的概念。关联度是指对两个系统或两个因素之间关联性大小的度量。它描述系统发展过程中因素间相对变化的情况，也就是变化大小、方向及速度等指标的相对性。如果两者在系统发展过程中相对变化基本一致，则认为两者关联度大；反之，两者关联度就小。基本思想:根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密，曲线越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之就越小。A：总收入B：养猪C：养兔灰色关联度分析优点回归分析是应用最广泛的一种办法，但要求大样本，只有通过大量的数据才能得到量化的规律，这对很多无法得到或一时缺乏数据的实际问题的解决带来困难。回归分析还需要样本有较好的分布规律，而很多实际情形并非如此。回归分析不能分析因素间动态的关联程度，即使是静态，其精度也不高，且常常出现反常现象。灰色关联度分析，根据因素间发展态势的相似或相异程度来衡量因素间关联的程度，解释了事物动态关联的特征与程度。由于以发展态势为立足点，因此对样本量的多少没有过分的要求，也不需要典型的分布规律，计算量少到甚至可用手算，且不致出现关联度的量化结果与定性分析不一致的情况。确定参考数列处理原始数据计算关联系数关联度的计算与比较灰色关联度的计算确定参考数列对一个抽象系统或现象进行分析，首先要选准反映系统行为特征的数据序列(参考序列)。我们称之为找系统行为的映射量，用映射量来间接地表征系统行为。比如：国民平均受教育的年限教育的发达程度刑事案件的发案率社会治安面貌和社会秩序原始数据的处理在计算关联度之前，通常要对原始数据进行无量纲化处理。设为因素的行为序列))(,),2(),1((nxxxXniiiiX初值化均值化区间化三种方法不宜混合、重叠作用，根据实际情况选用其中一个。mixnxxxxXXiiiiiii,,2,1,0,0)1()),(',),2('),1('()1(/'nkkxnXXkxXnkiii,,2,1,)(1,)('111nkikikkxikxiXkxkxki,,2,1,)()(')(min)(maxmin关联系数的计算设经过数据处理后的参考数列为：比较数列为：则：两极最大差与最小差：关联系数：式中：为分辩系数，用来削弱Δ(max)过大而使关联系数失真的影响。人为引入这个系数是为了提高关联系数之间的差异显著性。)('),2('),1(''0000nxxxXminxxxXiiii,2,1,)(',),2('),1(''nkkxkxkii,,2,1,)(')(')(0)((min)),((max)minminmaxmaxkkikiikiminkkkii,,2,1;,,2,1),1,0(,(max))((max)(min))(0关联度的计算与比较采用比较数列与参考数列各个时期的关联系数之平均值来定量反映这两个数列的关联程度，其计算公式为：miknnkoioi,,2,1,)(11应用与实例灰色关联分析“样本要求低、计算量小”的优点，使得其在自然科学、社会科学和经济管理等等很多领域具有十分广泛的应用。用灰关联分析的方法分析影响呼和浩特市大气污染的各主要因素的污染水平。因素19992000200120022003大气污染值0.7320.6460.6360.5980.627NOx0.0380.0310.0420.0360.043TSP0.5070.4510.4480.4110.122SO20.0480.0340.0300.0300.031工业总产值183.25207.28240.98290.80370.00基建投资24.0344.9862.7983.44127.22机动车数量855087431385966100554109804煤炭用量175.87175.72183.69277.11521.26沙尘天数101313111999-2003年城市大气污染监测数据计算步骤（1）将城市区域大气污染值作为参考序列其他各因素作为比较因素序列对各因素初值化处理，得各标准化序列0(),1,,5xkk(),1,,8,1,,5ixkik(),1,,8,1,,5iykik因素19992000200120022003大气污染值10.8830.8690.8170.857NOx10.8161.1050.9471.132TSP10.8900.8840.8110.241SO210.7080.6250.6250.646工业总产值11.1311.3151.5872.019基建投资11.8722.6133.4725.294机动车数量10.8691.0051.1761.284煤炭用量10.9991.0441.5762.964沙尘天数11.3001.3000.1000.100标准化数据（2）由上表求绝对差，得序列01(0,0.067,0.236,0.130,0.275)02(0,0.007,0.015,0.006,0.616)03(0,0.175,0.244,0.192,0.211)04(0,0.248,0.446,0.770,1.162)05(0,0.989,10744,2.655,4.437)06(0,0.014,0.136,0.359,0.427)07(0,0.116,0.175,0.759,2.107)08(0,0.417,0.431,0.717,0.757)minmax0,4.437（3）计算关联系数如下：取0.50()000.54.4370.54.437jki01(1,0.971,0.904,0.945,0.890)02(1,0.997,0.993,0.997,0.783)03(1,0.927,0.901,0.920,0.913)04(1,0.899,0.833,0.742,0.656)05(1,0.692,0.560,0.455,0.333)06(1,0.994,0.942,0.861,0.839)07(1,0.950,0.927,0.861,0.839)08(1,0.842,0.837,0.756,0.746)（4）计算关联度比较因素和参考因素的关联度为5010111()0.9425krk5020211()0.9545krk5030311()0.9355krk5040411()0.8265krk5050511()0.6085krk5060611()0.9275krk5070711()0.8275krk5080811()0.8365krk结果分析从结果可以看出，直接因素（前3个）关联度的排序为，说明在城市大气环境的影响因素中，TSP是主要因素；在间接因素（后5个）中，关联度的排序为，机动车数量是主要的间接影响因素。020103rrr0608070405rrrrr灰色关联度分析灰色预测模型灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。同时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型。因此，灰色模型就是利用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。灰色模型灰色预测是指利用GM模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，同时也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生事件的未来时间分布情况做出研究等等。这些工作实质上是将“随机过程”当作“灰色过程”，“随机变量”当作“灰变量”，并主要以灰色系统理论中的GM(1,1)模型来进行处理。灰色预测模型GM(1,1)Grey灰色Model模型1阶方程1个变量灰色预测的原理时间序列预测是采用趋势预测原理进行的，然而时间序列预测存在以下问题：（1）时间序列变化趋势不明显时，很难建立起较准确的预测模型；（2）它是在系统按原趋势发展变化的假设下进行预测的，因而考虑对未来变化产生影响的各种不确定因素。为克服上述缺点，灰色预测模型采用“累加”和“累减”的方法。GM（1,1）模型的基本原理是当一时间序列无明显趋势时，采用累加的方法可生成一趋势明显的时间序列。按该数列的增长趋势可建立预测模型并考虑灰色因子的影响进行预测，然后采用“累减”的方法进行逆运算，恢复时间序列，得到预测结果。这就是灰色预测的基本原理。灰色预测模型生成数累加生成累减生成均值生成灰色模型GMGM（1,1）的定义GM（1,1）的求解灰色预测模型方法步骤灰生成技术灰色序列生成：是一种通过对原始数据的挖掘、整理来寻求数据变化的现实规律的途径，简称灰生成。灰生成特点：在保持原序列形式的前提下，改变序列中数据的值与性质。一切灰色序列都能通过某种生成来弱化其随机性，显现其规律性。灰生成的作用（意义）1.统一序列的目标性质，为灰决策提供基础。2.将摆动序列转换为单调增长序列，以利于灰建模。3.揭示潜藏在序列中的递增势态，变不可比为可比序列。常见的几种灰生成类型：1.累加生成（AGO）2.累减生成（IAGO）3.均值生成（MEAN）4.级比生成1.累加生成（AGO）定义把数列x各时刻数据依次累加的过程叫做累加过程，记作AGO，累加所得的新数列，叫做累加生成数列。令为原序列(0)x(0)(0)(0)(0)1,2,,Xxxxn我们说是的AGO序列，并记为(1)X(0)X(1)(0)XAGOX当且仅当(1)(1)(1)(1)1,2,,Xxxxn并满足(1)(0)1()()kmxkxm(1,2,,)kn例摆动序列为：(0)1,2,1.5,3X通过AGO可以加工成单调增序列：(0)(1)(1,3,4.5,7.5)AGOXX00.511.522.533.544.5501234567891000.511.522.533.544.55012345678910(0)X(1)X2.累减生成（IAGO）定义对原始数列一次做前后两数据相减的运算过程叫累减生成，记作IAGO。又称逆累加生成，即对累加生成的数列进行还原。令为原序列(0)X(0)(0)(0)(0)1,2,,Xxxxn称是的IAGO序列，并记为Y(0)X(0)YIAGOX当且仅当(1),(2),,()Yyyyn并满足()ykY(0)(0)()()(1)ykxkxk例令原始序列为(0)X(0)(0)(0)(0)(0)(0)1,2,3,4,5Xxxxxx(1,1,1,1,1)(0)(1)(1,2,3,4,5)AGOXX(1)1,21,32,43,54IAGOX(1,1,1,1,1)这表