灰色系统理论及价格预测

1利用灰色系统理论模型预测钢材价格在长期的实践研究中，通常人们把公开发行的信息称为白色信息；把不公开发行的信息称为黑色信息；把一些介于这二者之间、既不公开发行的又不属于秘密的信息称为灰色信息。在工程领域里这种灰色信息随时都可以影响着我们的决策，是我们进行各种工程项目管理的重要信息资源。在计算工程造价时，一般都是立足于当前的工程造价信息，但实际施工会延续若干时间，从而使实际工程造价产生较大的偏差，为了使工程造价更接近实际情况，有必要对未来的偏离事先做出估计。要预测未来工程造价的变化，就必须了解建筑材料、机械设备和劳动力价格等工程造价信息的变化趋势。工程造价信息预测是工程造价管理活动的一项重要内容，也是一项重要的基础性工作。而预测技术是解决上述问题的依据之一，科学的预测是正确决策的前提和基础。20世纪80年代初，我国学者、华中理工大学邓聚龙教授首创的灰色系统理论，受到了国内外学术界的高度评价。随着该理论的不断丰富、完善和在社会各个领域的广泛应用，它已经成为一门新兴学科并发挥着越来越大的作用。1985年，邓聚龙教授在其所著的《灰色系统（社会·经济）》一书中对灰色系统的定义为“客观世界是物质的世界，也是信息的世界。既有大量已知信息，也有不少的未知信息、非确知信息。未知的或非确知的信息，我们称为黑色的。已知信息称为白色的。系统中既含有已知信息又含有未知的非确知的信息，称为灰色的系统。”（邓聚龙：《灰色系统（社会·经济）》，国防工业出版社，1985年版，第1页）。邓聚龙教授从信息的角度出发，通过对灰色系统的概念、定理、公式和符号等的深入研究，发展了一套解决信息不完备系统既灰色系统的理论与方法，其分析方法主要通过寻求灰关联度和建立GM（1，N）等灰色数学模型方法，对事件作灰色系统量化研究。施工项目成本灰色预测模型灰色系统是指既含有已知信息，又含有未知信息的系统，它研究的是“信息不完全”的对象，内涵不确定的概念，关系不明确的机制。其任务就是要开拓一条新的途径，克服概率统计的弱点，从杂乱无章的、有限的、离散的数据中找出规律，建立灰色系统模型。灰色预测是根据过去的及其现在已知的或非确定的信息建立一个从过去引伸到将来的灰色模型，从而确定系统未来发展变化的趋势，并为规划、决策提供依据。灰色预测方法的主要优点是在建立的预测模型中所需要的原始数据不多，且容易采集。财务人员采用这种成本预测方法，可以大大提高成本预测的准确性。灰色预测方法的原理：灰色预测方法是通过一系列的原始记录数据，将该原始数据累加生成数据系列。运用微分拟合模型逐步累加原始数据以减少随机波动的干扰，在累加值的基础上，对系统行为特征值大小的发展变化进行预测，然后还原出真实的预测值。2(1)GM(1,1)模型灰色预测是灰色系统理论与技术的重要组成部分，包括灰色数列预测、灰色灾变预测、灰色拓扑预测等类型。这些类型的灰色预测，就其本质而言都是GM(1，1)的扩展，因此GM(1,1)模型在灰色预测中占核心地位，它是由一个只包含单变量的一阶微分方程构成的模型。GM(1,1)模型的实质是对原始数据序列作一次累加生成，使生成数列呈一定规律，并用典型曲线拟合，建立其数学模型，用以对系统进行预测。设有数列),,,()0()()0()2()0()1()0(nxxxx(3.1)将式(3.1)作一次累加生成，记为1—AGO，生成的新数据序列记为：),,,()1()()1()2()1()1()1(nxxxx(3.2)式(3.2)中，kiikxx1)0()()1()((i=1,2,…,n)按新数据序列的变化规律对新数据序列建立白化形式微分方程：uaxddtx)1()1((3.3)式(3.3)中，a，u为参数，记为TuaA),(，并用最小二乘法确定参数A，即1()TTnABBBy(3.4)式(3.4)中，2)*1()1()2()1()1()1()2()1()1()1()2()1()1(121121121nxxxxxxB1)0()()0()3()0()2(nnnxxxy由式(3.3)白化形式微分方程的解，可得到GM(1，1)预测模型为aueauxxakk)(ˆ)0()1()1()1((k=1,2,…,n)(3.5)对)1()(ˆkx进行逆累加生成还原,得到预测值,即3)1()1()1()()0()(ˆˆˆkkkxxx(k=1,2,…,n)(3.6)上述(3.5)、(3.6)两式也称GM(1,1)白化方程时间响应函数。(2)误差的检验GM模型一般采用三种方法检验:即残差大小的检验、后验差检验、关联度检验。残差大小的检验是按点检验，后验差检验是残差分布统计特性的检验，关联度检验是建立的模型与指定函数之间近似性的检验。一般情况下，最常用的是相对误差检验指标。设原始序列),,,()0()()0()2()0()1()0(nxxxx相应的模型模拟序列)ˆ,,ˆ,ˆ(ˆ)0()()0()2()0()1()0(nxxxx残差序列)0()()0()()0()2()0()2()0()1()0()1()0(ˆ,,ˆ,ˆ)(),2(),1(nnxxxxxxn相对误差序列nnkxnxx1)0()()0()2()0()1()(,,)2(,)1(对于nk，称nkkn11为k点模拟相对误差，为平均模拟相对误差；称1为平均相对精度，k1为k点模拟精度，nk,,2,1；给定a，当a且an成立时，称模型为残差合格模型。(3))11(，GM模型的改进为提高)11(，GM模型预测精度，改进的方式主要是两个：一个是对原始数列进行改造，另一个是对)11(，GM模型本身进行改造。在实际应用中又有很多具体的方法，其中有残差处理、对原始数据进行滑动平均处理、等维新息处理等方法。①残差处理如果按原始数据建立的)11(，GM模型检验不合格、误差太大，可以考虑建立残差的)11(，GM模型，对原模型进行修正。取niik,,1,，建立残差数列)0()()0()1()0()0(,,,nii利用残差数列，建立)11(，GM模型再加入原始模型中。②原始数据滑动平均处理对原始数据进行滑动平均处理，目的主要在于削弱原始数据中极端值（坏数据）的影响，从而强化原始数据的大趋势，尽可能将原始数据改造成递增变化的序列。4③等维新息处理等维新息建模是指用)11(，GM模型预测一个值，而后将这个预测值补充在已知数据之后同时去掉最老的一个数据，保持等列等维；再建立)11(，GM模型，预测下一个值，将其结果再补充到序列之后再去掉最老的一个数据。这样新陈代谢，逐个预测依此递补，知道完成预测目标或达到一定精度为止。基于)11(，GM模型的预测实例灰色系统理论认为，对在一定范围内变化的灰色量，可以通过对系统的特征数据进行处理，从杂乱无章的现象中发现内在规律，钢筋的市场价格受诸多因素的影响，这些因素有的是已知的，有的是不确定的，因此说钢筋的市场价格是一个随机变量，可以认为钢筋市场价格的变化情况是一个在一定范围内变化的灰色量。本文基于应用灰色系统理论进行分析和研究，以钢筋为例来探讨建立主要建材市场价格的)11(，GM模型的一般方法。建立方法：用原始数据（近年每年中的钢材单价）)0(x，经累加生成)1(x，对)1(x建立GM模型，由模型得到模拟值),,,,,()1()6()1()5()1()4()1()3()1()2()1()1()1(xxxxxxx，将)1(ˆx和实际生成值)1(x进行比较，必要时进行修正，并将)1(ˆx还原为)0(ˆx，再将之与)0(x比较，进行误差检验。(1)收集原始数据，建立原始数据序列根据物价部门近几年的统计资料，1999～2005年的钢材价格如表3.1所示：表3.11999～2005年的钢材价格表编号1234567年份1999200020012002200320042005钢材价格（元）2488249825122686420032603150从表3.1可以看出，2003年钢材单价大幅度上涨，这是由于非典原因造成的，属于非正常因素，我们把它作为孤点，不予考虑。故将表3.1修改为表3.2表3.2调整后的钢材价格表编号123456年份1999200020012002200420055钢材价格（元）2488249825122686326031501999～2005年的钢材价格变化用图表示如图3.2所示。200025003000350040004500199819992000200120022003200420052006图3.21999～2005年钢材价格变化图表3.2中，设原始序列),,,,,()0()6()0()5()0()4()0()3()0()2()0()1()0(xxxxxxx=（2488，2498，2512，2686，3260，3150）(2)通过累加生成方式处理表3.2的原始数据累加生成是灰色系统常用的一种生成方式，其基本思想是通过原始数列各时刻数据的依次累加得到新的数据和数列。即对新的数列，第一个维持不变，第2个数据是原始的第1个加第2个数据，第3个数据是原始的第1个、第2个与第3个相加，从而得到累加生成数列(见表3.3)。设：),,,,,()1()6()1()5()1()4()1()3()1()2()1()1()1(xxxxxxx=（2488，4986，7498，10184，13444，16594）其中，kiikxx1)0()()1()(（k1，2，3，4，5，6）(3.7)表3.3原始数据及类加生成数值K值123456)0()(kx248824982512268632603150)1()(kx248849867498101841344416594累加生成可使非负数列转化为递增数列，是使灰色过程由灰变白的一种方法，通过累加可以使数据光滑化，弱化其随机性，看出灰量积累过程的发展态势，使离乱的原始数据中蕴涵的积分特性或内在规律充分显露出来，在此基础上可以得到系统的变化规律。6(3)建立模型灰色理论中通常采用)11(，GM模型作为预测模型，即只有一个变量的模型。我们只需研究钢材单价这一个变量。将许多原始数据做累加处理后，都会减少随机性，即呈明显的指数规律，便可建立微分方程模型。由一个数列建立的模型是一阶单变量微分方程，其形式为:uaxdtdx)1()1((3.8)式中，a和u的值通过最小二乘法估计求得，计算公式为:YBBBuaTT1)((3.9)式(3.9)中,(1)(1)(1)(2)(1)(1)(2)(3)(1)(1)(5)(6)121212xxxxBxx(0)(2)(0)(3)(0)(6)xxYx由表3.3计算得115019111814188411624213737B24982512268632603150Y因此,可计算得：3.198508.0ua(3.10)将(3.10)式代入(3.8)式得：3.198508.0)1()1(xdtdx(3.11)解式(3.11)，得时间响应式：aueauxxakk)(ˆ)0()1()1()1(248162730408.0ke(3.12)式(3.12)即为钢材单价的预测模拟模型。根据式(3.5)可求出)1(X的模拟值7)ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ()1()6()1()5()1()4()1()3()1()2()1()1()1(xxxxxxX=（2488，4762，7226，9894，12785，15917）还原求出)0(X的模拟值，由式（3.7）可得出：)1()1()1()()0()(ˆˆˆkkkxxx得还原数列：)ˆ,,ˆ