高等量子力学-chapter1

高等量子力学丁国辉上海交通大学物理系物理楼房1104房间Tel:021-54741638参考书:１.J.J.Sakurai,Modernquantummechanics,Addison-WesleyPublishingCompany,Inc.1994２.曾谨言，量子力学，卷I,II,科学出版社，1997第一章:量子力学基本概念量子力学的数学基础复线性矢量空间及Dirac符号|1.右矢空间:态矢量称为右矢(ket)不同状态,...|,|,|构成右矢空间RPaulA.M.Dirac,TheNobelPrizeinPhysics,1933•右矢相加|||R|•乘上一复数Rc|ccc||零态:0c物理假设:|与|c表示同一物理状态2.左矢空间与右矢空间对偶的空间R+|对任意,存在一对偶矢量,记为左矢|即存在一一对应关系||||....||||与|c|*c对偶的左矢为,而不是|c||||*2*121cccc所以•定义左矢与右矢的内积,记为:)(||)(|内积一般为复数.要求满足性质:*||立即可推出:|为一个实数.因为,取|为|,则有||*另一重要性质:0|仅当|是零矢时,0|相当于度规的正定性,这对量子力学的几率解释很重要•两个矢量的正交:0|0|•归一化矢量:|)|1(~|1~|~量子力学中|与|c表示同一物理状态,可以要求所有物理态是归一化的.3.算符|任意算符作用于左矢,得到另一左矢|)(|XX•两个算符相等条件:||YX对任意|都成立,则YX•零算符0|XXX•算符满足加法交换律和结合律ZYXZYXXYYX)()(•算符是线性的||)||(2121XcXcccX•算符可以从右边作用于左矢,得到另一左矢XX||)(一般|X与X|并不对偶与|X对偶的矢量记为XX||算符X称为X的厄米共轭•若X为厄米算符,则XX算符的乘积:算符的乘积一般并不对易YXXY但满足乘法结合律XYZZXYYZX)()(有XYXYYXXYXYYX|)(|)|(||)()|(而XYXY)(因为)|(|YXXYXYXY|)|(推论:XYZXYZ)(•考虑|与|的乘积|||)()(|称为|与|的外积||是一个算符,而注意|是一个复数•假定乘法结合律对左矢,右矢及算符都成立)|(|||)(||是一个数,所以||作用于一个右矢|,得到另一个右矢,因此||是一个算符结合律的另一个例子:)(|)|()|(|)(XX可记为||X因为|X的对偶矢量为X|，所以**||}|)|({)|(|||XXXX对厄米算符有：*||||XX４．算符的本征值和本征函数算符Ｆ作用于右矢|得到另一个右矢|)(|FF一般|F不等于一个常数乘以|•一些特殊的矢量，是算符F的本征矢量，记为,|,'|ff有性质,||,'|''|fffFfffF这一组数},,'{ff称为算符F的本征值这组矢量},|,'{|ff称为算符F的本征矢量•厄米算符本征矢及本征值的性质：(1)厄米算符的本征值为实数；(2)对应不同本征值的本征矢量彼此正交．Proof:(1)'|''|fffF'|'''||'ffffFfF为厄米算符，所以'|','||'fffFf为实数因此'f是实数(2)||'|''|fffFfffF'ff|''|ffFf所以0'|)'(ffff'|''||'|'||ffffFfffffFf0'|ff正交性！•物理可观察量为实数，厄米算符的本征值是实数，量子力学中可观察量对应的算符一般为厄米算符．•厄米算符F的所有本征矢量}'{|f构成一组正交基'|'ffff•任意态矢量可以用F的本征矢展开'''||fffc展开系数|''fcf因此'|''||fff上式可看成算符'|''|fff作用于任意|都成立，所以有恒等式'|''|fIff（完备性条件）这个恒等式在计算中很有用处！例如：求2'''||'||''|||)''|(||ffffffff若|已归一化,则展开系数满足归一化条件:''22'1||'|||ffffc•外积|''|ff的意义:算符|''|ff作用于任意矢量|'||''|||)''(|'fcfffff给出矢量|中平行于'|f的分量,所以|''|ff是投影算符5.力学量,状态的矩阵表示(表象理论)F选定一组基矢,相当于选定一个表象例如:选择算符的本征矢量作为基矢,则为F表象•在F表象中,算符X可写成'|''|||ffffXffX而取不同的'||fXf,'ff共有2N个元素,构成NN的矩阵表示算符X的)2()2()1()2()2()1()1()1(||||||||fXffXffXffXfX显然有*||''||fXffXfX为厄米算符,则其矩阵元*||''||fXffXf厄米矩阵转置复共轭即是它自身•两算符相乘XYZ其矩阵元''''||''''''||'||'||ffYffXffXYffZf与矩阵乘法一致•关系式||X则可表示为|||'||'|'fffXfXff将|,|写成列向量|||)2()1(ff|||)2()1(ff则||||||||||||)2()1()2()2()1()2()2()1()1()1()2()1(fffXffXffXffXfff•而关系式X||可写成'|||'|ffXfff|可表示为一个行向量),|,|(),|,|(|*)2(*)1()2()1(ffff注意式中的复共轭!•内积|可表示为行向量|与列向量|的乘积||,|,||''||)2()1(*)2(*)1('fffffff•而外积表示为矩阵形式*)2()2(*)2()1(*)2()1(*)1()1()2()2()1()2()2()1()1()1(||||||||||||||||||ffffffffffffffff6.量子力学中的测量问题对物理系统某一可观察量的测量,将使系统状态跃迁到该观察量的某个本征态.•例如:对可观察量F的测量假设系统初态为'''|''|'||ffffffc即算符F本征态的线性叠加测量后,得到测量值'f,则系统状态'||fmeasure一般情况下,测量会改变系统的状态!•一个例外:系统初态即为F的本征态'|'|ffmeasure显然测量值为本征值'f•对线性叠加态|的测量,预先不能知道测量F会得到哪一个本征值,但可以知道测量值为某一个'f的几率2'||'|fPf|已归一化()•对单个系统的测量每次只能得到一个确定值,几率分布是对大量处于相同初态的系统进行测量而得到•大量处于相同量子态的系统称为纯系综•系数2||'|f的几率阐释是量子力学的基本假定举例:(1)'||f,则1|'|'|||'|22'fffPf(2),||f,则)'(ff0||'|2'ffPf•观察量F的期待值||FF即测量值的平均'2'||'|'|''|||fffffffFffF测量值'f测量值为'f的几率力学量的期待值与本征值是完全不同的概念!7.相容及不相容可观察量•若算符BA,对易,即0],[BA则为相容.若0],[BA,则为不相容•例如:自旋1/2系统zSS,2为相容的xzSS,为不相容的•当BA,彼此对易时,它们的本征矢之间存在联系•性质:若BA,互为对易,且A的本征值无简并,则在B的矩阵表示A表象中,'||aBa是对角化的.以A的本征矢量作为基矢,已对角化AProof:0'||)'('||'|],[|aBaaaaBAABaaBAa当'aa时,0'||aBa'||aBa不为零,仅当'aa的矩阵元可写成B||''||'aBaaBaaaB算符可表示为||||aaaBaaBB作用于A的本征矢'|a'|)'||'('||||'|aaBaaaaBaaaBa即'|a也为B的本征矢,本征值为'||''aBab•所以'|a既是A的本征矢,也为B的本征矢可标记为','|ba•因此,若0],[BA,则BA,有一组共同的本征矢量对有简并情况,上述结论仍旧成立,只是证明稍麻烦一点BA,的共同本征态,可标记为','|ba','|'','|','|'','|babbaBbaabaA•对无简并情况,将','ba同时标出是多余的但有简并情况下,却能清楚地描述状态•例如:角动量算符zLL,2本征值分别为lmll,)1(2lllml,,1,lm取值为得到确定的角动量量子态,必须同时确定llm量子数和•显然可用一个指标集)','(ba'K表示','|'|baK•推广到一般情况,有一组算符彼此互为对易0],[],[],[CACBBA•这组算符是可以找到的最大一组彼此对易的可观察量,称为力学量完备集,则可以用这组算符的本征值来标志它们的共同本征态,',','|'|cbaK•不同本征态彼此正交'''''|ccbbaaKKKK•完备性条件为''''|,',',',',','||''|KabcIcbacbaKK•对相容可观察量测量,可同时有确定值测量A得到本征值'a,测量B得到本征值'b则系统状态的变化为:','|','|','||___bababaAmeasureBmeasureAmeasure(无简并情况))(_1)(_)()('_','|','|','||jAmeasurenijBmeasureiiaAmeasurebababac有简并情况:•对不相容的可观察量0],[BA,则不存在一组共同的本征态所以一般BA,不能同时有确定值•特殊情况:例如zxLL,不对易,但对角动量0l(s态),为zxLL,的共同本征态,本征值为08.Heisenberg测不准关系•对可观察量A,可定义算符AAA其中期待值是对某一物理状态而