点向量与坐标系之间的变换关系

1.不同的点在同一坐标系下的坐标关系在这种情况下，只有一个坐标系、两个点P和Q，点Q由点P绕某根等效轴旋转一定的角度得到，旋转变换得到的矩阵记为R，则有QRP具体来说，设两个点的坐标分别为123TPXxxx，123TQYyyy，坐标系的基底，即三根坐标轴的单位方向向量分别为1e、2e、3e，从点P到点Q的线性变换记为T，于是有112312321233TxPxxxeeexeeeXx112312321233TyQyyyeeeyeeeYy112233112233123QTPTexexexxTexTexTeTeTeTeX上述三个式子中第三个式子表明，同一坐标系中，一点经过某一变换到另一个点可以转化为坐标中向量到向量之间的变换。记1123231,2,3jjjjaTeeeeaja则有11121312312321222312331323aaaTeTeTeeeeaaaeeeAaaa因此有123123QTPTeTeTeXeeeAX上式结合123QeeeY，由点在同一基底下的表示唯一可知YAX综上，有：点Q由点P绕某根等效轴旋转一定的角度得到，旋转变换得到的矩阵记为R，则有QRP这里需要注意的是变换矩阵R的求解方法。如下：假想有编号为1,2的两个初始重合的坐标系，将2号坐标系相对于1号坐标系做变换，次变换与题目中点之间的变换相同。得到的新2号坐标系的三根轴相对于1号坐标系的坐标表示分别为变换矩阵R的第一、二、三列。2.同一个点在不同坐标系下的坐标关系在这种情况下，只有一个点P，两个坐标系A与B。设想初始时坐标系A与B完全重合，然后B坐标系做某种变换T，变换矩阵记为R，点P在坐标系A与B下的坐标分别为AP和BP，则AP与BP之间的关系为ABPRP设A与B坐标系的基底分别为123AAAeee和123BBBeee，两组基底之间的关系为1123231,2,3jjBAAAjjreeeerjr设123TAAAAPxxx、123TBBBBPxxx，则有112312321233ATAAAAAAAAAAAAAxPxxxeeexeeeXx112312321233BTBBBBBBBBBBBBBxPxxxeeexeeeXx将两基底之间的关系带入上式可得111213123123212223313233BBBBBAAABrrrPeeeXeeerrrXrrr上式将点P转化为在A坐标系中的描述，由于同一点在同一坐标系中的表示是唯一的，因此有111213212223313233ABBrrrXrrrXRXrrr即ABPRP其中变换矩阵R由三列构成，第一列为坐标系B的x轴相对于坐标系A的描述，第二列为坐标系B的y轴相对于坐标系A的描述，第三列为坐标系B的z轴相对于坐标系A的描述。对于不同的点在同一坐标系下的坐标关系和同一个点在不同坐标系下的坐标关系这两个问题，相同点在于两个问题都蕴含着坐标系之间的变换，即使是前者，也需要假想出两个坐标系，而且两个问题涉及到的变换矩阵相同。两个问题的不同点在于变换矩阵去乘哪个坐标。3.不同向量在同一坐标系下的坐标关系这个问题与“不同点在同一坐标系下的坐标关系”很像，设向量21pPP，向量21qQQ，且向量q由向量p做某种变换得到，变换矩阵为R。即为了理解R的含义，仍假想有两个开始完全重合的坐标系，一个称为固定坐标系，一个称为运动坐标系，运动坐标系相对于固定坐标系也做与向量相同的变换，变换矩阵为R，则R的第一、二、三列分别表示运动坐标系的x、y、z轴相对于固定坐标系的表示。由于向量q由向量p做某种变换得到，即点2Q由点2P做变换R得到，点1Q由点1P做变换R得到，则根据问题1的结论有22QRP11QRP上述两式相减得212121QQRPRPRPP即qRp4.同一向量在不同坐标系下的坐标关系设有一向量p和两个坐标系A和B，向量p由两点1P和2P确定，即21pPP，向量p在坐标系A和B下的坐标分别为Ap和Bp，点1P在坐标系A和B下的坐标分别1AP和1BP，点2P在坐标系A和B下的坐标分别2AP和2BP。与问题2相同，从坐标系A到坐标系B的变换矩阵为R。仿照问题3的处理方法，结合问题2的结论，有11ABPRP22ABPRP上述两式相减得212121AABBBBPPRPRPRPP即ABpRp综上所述，向量与坐标系之间的关系与点与坐标系之间的关系的结论相似。5.坐标系绕自身变换的变换矩阵问题：坐标系A和B初始时完全重合，A为固定坐标系，B为运动坐标系，然后B始终绕自身的三根轴旋转，例如：B坐标系做如下变换：先绕自身的x轴旋转得到坐标系B，再绕自身（即B）的y轴旋转，得到坐标系B，则从坐标系A到坐标系B的变换矩阵为1000001000csRRotxRotycsscsc即矩阵相乘顺序为右乘，下面证明之。记111213212223313233rrrRotxrrrrrr111213212223313233pppRotypppppp设坐标系A、B、B的基底分别为123eee、123和123，则三组基底之间的关系为112323jjjjreeerr则有111213123123212223123313233rrreeerrreeeRotxrrr同理有111213123123212223123313233ppppppRotyppp联立上述两个表达式有123123123RotyeeeRotxRoty即坐标系A到B的变换矩阵为RotxRoty，为右乘关系。6.运动坐标系绕固定坐标系变换的变换矩阵