点集拓扑作业

第1章朴素集合论1.设f:X→Y,A,B⊂Y,则下面不正确的命题是().A.A=f(f−1(A))B.f−1(A∩B)=f−1(A)∩f−1(B)C.f−1(A\B)=f−1(A)\f−1(B)D.f−1(A∪B)=f−1(A)∪f−1(B)2.对任意集合X,Y,Z,下面命题正确是().A.cardX≤cardY⇒X⊂YB.X⊂Y⇒cardX≤cardYC.X≠Y⇒cardX≠cardYD.XY⇒cardXcardY3.设R是从X到Y的一个关系,则R(A∩B)=R(A)∩R(B).()4.给定函数f:X→Y,则关系f−1:Y→X.()5.给定X={1,2,3},则X上的关系R={(1,2),(2,3),(3,1),(2,1)}是从X到X的一个函数.()6.考虑整数集Z上的模5等价关系,则商集[9]=[134].()7.有理数集是可数集,无理数集的基数为ℵ.()8.设R⊂X×Y,则称R是从X到Y的一个____________.9.设X上的一个关系R.若△(X)⊂R,其涵义为____________,则称关系R是________________的;若R=R−1,其涵义为_______________,则称关系R是_____________的;若R◦R⊂R,其涵义为,则称关系R是_______________的.满足以上三个条件的关系称为______________.关系.等价关系,商集,自然映射.可数集,ℵ0.1.设X上关系R是自反的.试证:R是等价关系当且仅当(a,b)∈R,(a,c)∈R⇒(b,c)∈R.2.设X,Y是集合,f:X→Y.试证:R={(x1,x2)∈X×X;f(x1)=f(x2)}是X上的等价关系,而且f˜:X/R→Y[x]→f(x)是良定义的(well-defined),且是单射.3.设A⊂B⊂C,且cardA=cardC.试证:cardA=cardB=cardC.(提示:利用Cantor-Bernstein定理.)4.设f:X→Y,A,B⊂Y.试证:f−1(A∪B)=f−1(A)∪f−1(B).5.设f:X→Y,A⊂X,B⊂Y,试证:B∩f(A)=f(f−1(B)∩A).6.设f:X→Y,试证:f−1(f(A))⊃A;f−1(f(A))=A⇔f(A)∩f(X\A)=∅.第2章拓扑空间与连续映射1.设X={0,1,2},下面不是X上的拓扑的集族是().A.{∅,{1},{1,2},X}B.{∅,{0},X}C.{∅,{0,1},{0,2},{2},X}D.{∅,{0},{1,2},X}2.设X是拓扑空间,A⊂B⊂X,下面不正确的命题是()A.d(A)⊂d(B)B.Ao⊂BoC.Ac⊂BcD.A−⊂B−3.设X是拓扑空间,下面不正确的命题是()A.∅−=∅B.X−=XC.(A∩B)−=A−∩B−D.(A∪B)−=A−∪B−4.设X={a,b},T={∅,{a},X},则d({a})=(),{a}−=(),{a}o=().A.∅B.XC.{a}D.{b}5.设X={a,b,c,d},T={∅,{a},{b,c,d},X},则X的既开又闭的非空真子集的个数为().A.1B.2C.3D.46.设X={a,b,c,d},T={∅,{a},{b,c,d},X},点b的开邻域个数为().A.1B.2C.3D.47.设(X,T)是拓扑空间,A⊂X,则Ao是包含于A的()开集.A.最小B.最大C.既不是最大也不是最小D.以上都不对8.设(X,T)是拓扑空间,A⊂X,则A−是包含A的()闭集.A.最小B.最大C.既不是最大也不是最小D.以上都不对9.设X是一个拓扑空间,A,B⊂X,则下列关系中错误的是()A.d(A∪B)=d(A)∪d(B)B.BABAC.d(A∩B)=d(A)∩d(B)D.AA10.离散空间的任一子集是()A.开集B.闭集C.既开又闭D.非开非闭11.在实数空间R中,下列集合是开集的是()A.整数集ZB.有理数集QC.无理数集D.整数集的补集Zc12.设(X,ρ)是拓扑空间,x∈X,A⊂X,则ρ(x,A)=0⇔x∈(),ρ(x,Ac)=0⇔x∈(),ρ(x,A)=ρ(x,Ac)=0⇔x∈(),ρ(x,Ac)0⇔x∈().A.AoB.A−C.∂AD.Aoc13.拓扑空间中的开集一定不是闭集.()14.设T1,T2都是X上的拓扑,则T1∪T2也是X上的拓扑.()（花写T）15.在拓扑空间(X,T)中,若A⊂X,则d(A)是闭集.()16.在实数下限拓扑空间Rl中,[0,∞)是开集.()17.设B是拓扑空间(X,T)的一个基,B⊂B˜⊂T,则B˜也是该拓扑空间的一个基.()18.设S是拓扑空间(X,T)的一个子基,S⊂S˜⊂T,则S˜也是该拓扑空间的一个子基.()19.在拓扑空间(X,T)中,设x∈X,A⊂X,则x0∈d(A)蕴含存在A\{x0}中的序列{xn}收敛于x0.()20.在度量空间(X,T)中,设x0∈X,A⊂X,则x0∈d(A)等价于存在A\{x0}中的序列{xn}收敛于x0.()21.设A是离散空间X的子集,则Ao=______________,A−=_______________.22.设X是拓扑空间,A⊂X,x∈X,如果_____________,则称x是A的凝聚点.23.在实数空间R中,区间[0,1)的内部是______,Q的内部是_________,Q的导集是______,Q的闭包是______,Q的边界是_____________.24点集拓扑的中心任务是研究______________.25.设X是拓扑空间,如果_____________________,则称U⊂X是点x∈X的一个邻域.度量空间拓扑空间邻域凝聚点,导集内点,内部边界点,边界基,子基同胚映射1.设(X,ρ)是度量空间,试证:|ρ(x,y)−ρ(x,z)|≤ρ(y,z),∀x,y,z∈X.2.设(X,ρ)是度量空间,),(1yx,)10(,),(1),(2yxyx试证:(X,ρ1),(X,ρ2)均是度量空间.3.设1iip是X上的一列度量,试证:),(1),(21),(1yxyxyxiiii,也是X上的度量.4.设X={a,b,c},T1={∅,{a},{a,b},{a,c},X},T2={∅,{b},{a,b},{b,c},X}.试证:T1,T2都是X上的拓扑,但T1∪T2却不是X上的拓扑.5.设X={a,b,c},T={∅,{a},{b,c},X}.试证:(X,T)是一个拓扑空间;再设A={b},试求d(A),并判断它是否为闭集.6.设X是度量空间,A⊂X,试证:d(A)是闭集7.设X是有限补拓扑空间,A⊂X,试证:为无限集，为有限集，AXAAA8.设X是拓扑空间,A⊂X,试证:Ao−o−=Ao−.证明:Ao−⊃Ao−o⇒Ao−⊃Ao−o−,Ao⊂Ao−⇒Ao=Aoo⊂Ao−o⇒Ao−⊂Ao−o−9.设(X,TX),(Y,TY)是两个拓扑空间,f:X→Y.试证以下条件等价:1.f连续;2.∃Y的基BY,B∈BY⇒f−1(B)∈TX;3.∃Y的子基SY,S∈SY⇒f−1(S)∈TX;4.∀x∈X,U∈Uf(x)⇒f−1(U)∈Ux;5.∀x∈X,∃f(x)的邻域基Vf(x),V∈Vf(x)⇒f−1(V)∈Ux;6.∀x∈X,∃f(x)的邻域子基Wf(x),∀W∈Wf(x)⇒f−1(W)∈Ux.第3章子空间,积空间,商空间1.设X={1,2,3},T={∅,X,{1,2},{1,3},{1},{2}},A={2,3},则X的子空间A的拓扑是_________________.2.相对拓扑是使得内射连续的()的拓扑.A.最小B.最大C.既不是最大也不是最小D.以上都不对3.积拓扑是使积空间到每个坐标空间的自然投射都连续的()的拓扑.A.最小B.最大C.既不是最大也不是最小D.以上都不对4.设X=X1×···×Xn是拓扑空间X1,···,Xn的拓扑积空间,则下列哪个性质不是投射pi:X→Xi的性质()A.pi是满射B.pi是连续映射C.pi是闭映射D.pi是开映射5.设X1,X2是两个拓扑空间,X1×X2是它们的积空间,A⊂X,B⊂Y.则下列命题错误的是()A.BABAB.∂(A×B)=(∂A×B¯)∪(A¯×∂B)C.∂(A×B)=∂A×∂BD.(A×B)o=Ao×Bo6.设(X,T)为拓扑空间,f:X→Y,则Y上的商拓扑是使得f连续的()的拓扑.A.最小B.最大C.既不是最大也不是最小D.以上都不对7.离散空间的商空间一定是(),平庸空间的商空间一定是().A.离散空间B.平庸空间C.既不是离散空间,也不是平庸空间D.以上都不对8.设[0,1]是实数空间R的子空间,则(0,1/2]是[0,1]中的开集.()9.设[0,1)是实数空间R的子空间,则[0,1/2)是[0,1)中的开集.()10.设[0,1)是实数下限拓扑空间Rl的子空间,则[1/2,1)是[0,1)中的开集.()11.开映射的复合还是开映射.()12.闭映射的复合还是开映射.()13.商映射的复合还是商映射.()14.设X,Y是两个拓扑空间,f:X→Y是商映射,则f是满射.()15.设X,Y是两个拓扑空间,f:X→Y是单射,且是商映射则f是同胚.()16.设Y是拓扑空间X的一个开(闭)子集,则Y作为X的子空间时称为X的开(闭)子空间.试证:1.如果Y是拓扑空间X的一个开子空间,则A⊂Y是Y中的开集⇔A是X中的开集.2.如果Y是拓扑空间X的一个闭子空间,则A⊂Y是Y中的闭集⇔A是X中的闭集.第4章连通性1.设X是拓扑空间,则X中的单点子集是X的通连子集.()2.设X是连通空间,Y⊂X,则Y是X的连通子集.()3，设X是不连通空间,Y⊂X,则Y是X的,不连通子集.()4.设Y是R的连通子集,则Y是区间.()5.设I是R的区间,则Y是R的连通子集.()7.设X,Y是拓扑空间,X是局部连通空间,f:X→Y连续,则f(X)也是局部连通空间.()8.设X是一拓扑空间,C为其一连通分支,若X的连通子集Y适合Y¯∩C≠∅,则Y⊂C.()注记：书上的定理是这么说的:设X是一拓扑空间,C为其一连通分支,若X的连通子集Y适合Y∩C≠∅,则Y⊂C.(狗的嘴里叼着肉就能全部吃掉它)现在的情形是:如果把肉放到狗嘴边,那么狗能否吃到肉呢?注记：这是连通分支的“吸星大法”的增强形式.9.设X是一拓扑空间,C为其一道路连通分支,若X的道路连通子集Y适合Y∩C≠∅,则Y⊂C.()注记.这是道路连通分支的“吸星大法”.10.设O是Rn的开集,则O是连通的⇔O是道路连通的.()11.设A⊂R,则A是连通的⇔A是道路连通的.()12.设O是Rn的开集,则O的道路连通分支是它的一个连通分支.()13.拓扑空间的连通分支可以是闭集,也可以是开集.()提示：考虑有理数集Q的连通分支.14.拓扑空间的道路连通分支是闭集.()提示：考虑拓扑学家的正弦曲线.15.拓扑空间的连通分支的闭包是连通的.()16.拓扑空间的道路连通分支的闭包也是道路连通的.()提示：考虑拓扑学家的曲线.1.多于一个点的离散空间是___________的.2.平庸空间是____________的.3.设X={a,b,c},T1={∅,{a},{b,c},X},T2={∅,{a},X},则拓扑空间(X,T1)是______________的,拓扑空间(X,T2)是_________________的.(选填:连通,不连通).4.R是______的;Q作为R的子空间是______的;R\Q作为R的子空间是_______________的;{代数数}作为R的子空间是_____________的;{超越数}作为R的子空间是______________的;Z作为R的子空间是___________的.(选填:连通,不连通).5.R\{0}是________空间,R2\{0}是________空间.(选填:连通,不连通).6.考虑拓扑学家的正弦曲线(thetopo