热学第五章.

第五章非平衡过程本章主要内容1、输运过程；2、气体分子的平均自由程与碰撞频率；3、热力学涨落；4、布朗运动；目的要求：1、确切理解与掌握气体分子平均自由程与碰撞频率的定义及其计算。2、确切理解与掌握输运过程的宏观规律及其微观机制。3、了解热力学涨落和布朗运动的理论。§1近平衡态弛豫和输运过程一、主要内容1、输运过程的三条宏观规律2、分子的平均自由程与碰撞频率3、分子自由程的概率分布4、初级气体动理论5、输运系数之间及与气体状态参量的函数关系6、稀薄气体中的输运过程二、教学任务与要求1、准确理解与掌握输运过程的概念和三条宏观规律2、准确理解与掌握分子的平均自由程与碰撞频率的定义及其计算3、了解分子自由程的概率分布4、理解与掌握初级气体动理论的基本知识5、理解与掌握输运系数与自由程及气体状态参量的函数关系6、准确理解与掌握稀薄气体中的输运过程的特性§1近平衡态弛豫和输运过程弛豫：当热力学系统的平衡态稍有偏离时，分子间的相互作用（碰撞）会使之向平衡态趋近，这样的过程叫弛豫（过程）。弛豫过程进行所需的时间叫做弛豫时间。弛豫过程进行的快慢相差很远，有的进行得较快，有的进行得较缓慢。输运过程：由非平衡态趋向平衡态的变化过程，称为输运过程。典型的输运过程有：当系统各处密度不均匀时发生扩散过程；当系统各处温度不均匀时发生热传导过程；当系统各层流速不同时发生粘滞现象。1.2分子的平均自由程与碰撞频率我们已经知道，在室温下空气分子的平均速率均为声速均为。两者同数量级。那么，若在某处摔破一瓶汽油，声音和气味是否差不多同时传到？事实上声音先到，气味的扩散要慢得多。这是由于分子由某处A移至另一处sm2104sm2103B的过程中，将不断地与其他分子碰撞，结果只能沿着迂回的折线前进，而不是直线行进。气体的扩散，热传导等过程进行的快慢都取决于分子间相互碰撞的频率。分子是由原子核和电子组成的复杂的带电系统，分子间的碰撞是短程的斥力作用下的散射过程。若不考虑碰撞的细节，可把分子看作有一定体积的弹性刚球，把分子间的相互作用过程看作刚球的弹性碰撞，且认为只有当两球接触时才有相互作用。两个分子质心间最小距离的平均值认为是刚球的直径，叫作分子的有效直径。分子相继两次碰撞之间所通过的路程，称为自由程，记作时长时短,其平均值叫平均自由程。每个分子在单位时间内与其他分子碰撞的次数称为碰撞频率。的倒数表示分子的平均自由飞行时间。显然平均自由程和碰撞频率间存在着简单的关系。设代表分子的平均速率，则：;（5.7）分子的平均自由程和碰撞频率由气体的性质和状态决定。为了确定，我们设想跟踪一个分子，比如说分子A，数一数它在一段时间t内与多少个分子发生碰撞。对于碰撞来说，重要的是分子间的相对运动。为此设分子A以平均相对速率运动，而其他分子可认为静止不动。u在分子A的运动过程中，显然只有中心与A的中心之间相距小于或等于分子有效直径的那些分子才可能与A相碰。因此可设想以A的运动轨迹为轴线，以分子的有效直径d为半径作一个曲折的圆柱体，如图示。凡是中心在此圆柱体内的分子都会与A相碰;圆柱体的截面积，叫做分子的碰撞截面。在时间t内分子A走过的路程为，相应圆柱体的体积为。若以n表示单位体积内的分子数，则在此圆柱体内的分子数2dtutu亦即A与其他分子碰撞次数为。于是碰撞频率为：（5.8）unttun因而平均自由程为:（5.9）un下面求的关系，如图所示，设相互碰撞的两个分子的速度分别为和，其间的夹角为，相对速度为u和12u则：或：21ucos22122212u取统计平均值：cos22122212utun222210cos21（两分子运动方向是随机的）222u2122uu即于是碰撞频率为：（5.8）分子的平均自由程为：（5.10）222dnnun22121dnn此式表明：平均自由程与分子的有效直径d的平方及单位体积的分子数n成反比，与分子的平均速率无关，此式可称为麦克斯韦平均自由程公式。因为代入上式可得：nkTPPdkTPkT22201.5这表明：当温度恒定时，分子的平均自由程与压强成反比，这表明平均自由程与气体的状态有关。表5—3给出几种气体在标准状态下的平均自由程和有效直径，由表的数据可看出，在标准状态下，气体的，确实可以认为气体是够稀薄的。248Pd例：计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频率。取分子的有效直径，空气的平均分子量为29。md10105.3解：已知KT273PaatmP51001.10.1md10105.31231038.1JKk代入得空气分子的平均自由程：01.5mPdkT85210232109.61001.1105.314.322731038.12又：分子的碰撞频率（由5.7式）smMRTmol448102914.327331.8883198105.6109.6448s即平均地讲，每个分子每秒与其他分子碰撞65亿次。1.3分子自由程的概率分布分子在任意两次碰撞之间所通过的自由程有长有短，有的比平均自由程长，有的比短。现讨论分子自由程大于的概率。llP设在某一时刻考虑一组分子，总分子数为。它们在以后的运动中将与组外的其他分子相碰，每发生一次碰撞，这组分子就减少一个。设这组分子通过路程时还剩下N个，而在下一段路程上，又减少了（用表示N减少量）。0NldldNdN根据平均自由程的定义，在单位长度的路程上，每个分子平均碰撞次，在长度为的路程上,每个分子平均碰撞次，而N个分子在长的路程上应平均碰撞次，这也就分子数的减少量，即：1dldlNdldldlNdNdlNdN或积分得：于是：（5.13）lNN0lnleNN0式中N表示在个分子中自由程大于的分子数。于是得到分子自由程大于的概率分布为：0Nll(a)leNNlP0（5.14）将（5.13）式代入（a）式得：)31.5(0dleNdNldN表示自由程介于区间内的分子数。（5.13）和就是分子按自由程分布的规律。dlll31.5例：求自由程大于和小于的概率各为多少？解：由（5.14）式：当时：l37.01eP这就是自由程大于的概率，自由程小于的概率63.01P1.1输运过程的宏观规律从表面上看，气体的粘滞现象，热传导现象和扩散现象好象互不相关，但实际上这三种现象具有共同的宏观特征和微观机理。1、牛顿粘性定律在力学中，曾讨论过流体的粘滞现象。当气体各层的流速不同时，则通过任一平行于流速的截面，相邻两部气体将平行于截面互施作用力；力的作用使流动慢的气层加速，使流动快的气层减速。设气体平行于平面沿y轴正向流动，流速u随z轴逐渐加大。如图所示，设流体中在和的两个平面上的切向流速分别为u和，则：xoy0zzzzz0uu)1.5(lim0dzduzuz称为速度梯度。实验表明，对于多数流体，两层流体之间单位时间内穿过平面的动量（亦即粘滞力f）正比于速度梯度和面元：0zztPyxS)2.5(00SdzdutPzfzz式中负号表示动量沿速度减小的方向。此式称为牛顿粘滞定律，比例系数称为流体的粘性系数，其单位在国际单位制中为:2米秒牛顿粘性系数因材料而异，与温度有关。液体的粘性系数随温度升高而减少，气体则相反。表5—1给出了一些物质在不同温度下的粘性系数。243P2、傅里叶热传导定律当气体内各处的温度不均匀时，就会有热量从温度较高处传递到温度较低处，这种现象叫做热传导现象。设温度沿z轴正向逐渐升高。如图所示，在和处分别作垂直于z轴的平面，相应的温度分别为T和，则温度梯度为：0zzzzz0TT)3.5(lim0dzdTzTz实验表明，单位时间内通过平面上的热量（称为热通量或热流H）为：0zzyxStQ)4.5(0SdzdTtQHzzT负号表示热量沿温度减小的方向传递。比例系数称为热导率。其单位为（）。此式称为傅里叶热传导定律。表5—2给出来一些物质的热导率。KmW245P3、菲克扩散定律在混合气体内部，当某种气体的密度不均匀时，这种气体分子将从密度大的地方移向密度小的地方，这种现象叫做扩散现象。例如从液面蒸发出来的水汽分子不断地扩散开来，就是一种扩散现象。扩散过程比较复杂，单就一种气体来说，在温度均匀下，密度不均匀将导致压强的不均匀，从而产生宏观气流，这种过程主要不是扩散。就两种分子组成的混合气体来说，也只有保持温度和总压强处在均匀的情况下，才可能发生纯扩散过程。此处只研研究纯扩散过程，且只讨论两种分子质量基本上相同的气体（如和CO或和）组成的混合气体。将两种气体放在同一容器中，中间用搁板隔开，两边温度和压强都相同，然后把隔板抽掉，让扩散开始进行。此时因P相同—不产生气流，又因T均匀，质量接近—速率接近，只因每种气体密度不均而进行纯扩散，下面讨论二组分之一的扩散规律。2N2CO2NO设一个组分的密度沿方向逐渐升高，如图所示，在和处分别作垂直于z轴的平面，其上的密度分别为和则密度梯度：z0zzzzz0)5.5(lim0dzdzz实验表明，单位时间内通过平面上的质量（即质量通量或质量流J）为0zzyxStMSdzdDtMJzz0（5.6）式中负号表示质量沿密度下降的方向流动；比例系数D称为扩散系数，单位为，上式叫做菲克扩散定律。sm22秒米1.5初级气体动理论气体动理论是研究气体输运过程微观机制的理论，它可以给出输运系数与微观参数之间的关系。粘性现象是流速分布不均匀引起的动量传递，形成动量流，即作用力；热传导现象是温度不均匀引起的热量传递，形成热流；扩散现象是密度分布不均匀引起的质量传递，形成质量流。归纳起来，输运现象就是因某个宏观参量分布不均匀从而引起相应物理量Q的迁移，形成某种流，从微观上看，物理量Q的迁移是靠分子的热运动来输运的，而在输运过程中物理量Q的交换，则靠碰撞来完成。因此分子的热运动和碰撞起着“搅拌”作用。g先讨论分子热运动的作用，如图所示，在处作一平面把系统分成A、B两部分。由于分子的热运动，将有分子由A穿过面到达B或由B穿过面到达A。从而引起相应物理量的传递。0zz0z0z现在面上取一面元，考虑在时间内从A到B或从B到A穿过的分子数。作为初级理论，假定所有分子的速率均为速率。根据分子热运动的无规则性，可把系统的所有分子平分为6组，各自朝方向运动。0zStSzyx,,显然只有沿+z方向运动的那组分子才能从A穿过面到达B-z…………………B……………………A。0z每组的分子数是分子总数的。以为底，以为高作一圆柱体，在时间内能穿过的分子就是该圆柱体内的分子。所以在时间内经从的分子数为：61SttStABBAStndN61穿过面的每个分子把一方的某个物理量携带到另一方，粘性现象：每个分子是把分子定向运动的动量mv带到另一方；热导现象：每个分子是把分子的平均热运动能量带到另一方.扩散现象：每个分子是把分子的质量m携带到另一方。0zTmckTSrtV221S由于系统沿z方向不均匀，因此分子热运动在A、B两部分之间带来带去的物理量数量不等，在时间内沿方向净流过面元的某物理量为tzSBAtSntSnQ分子携带的物理量分子携带的物理量6161相应的流为：SnntQgBA分子携带的物理量分子携带的物理量65.16现在讨论碰撞的作用。热平衡态的建立