牛顿迭代法

牛顿迭代法牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x)=0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。牛顿迭代公式设r是f(x)=0的根，选取𝑥0作为r的初始近似值，过点(𝑥0,f(𝑥0))做曲线y=f(x)的切线L，L的方程为y=f(𝑥0)+𝑓,(𝑥0)(x-𝑥0),求出L与x轴的横坐标𝑥1=𝑥0-f(𝑥0)𝑓,(𝑥0)，称为𝑥1为r的一次近似值。过点(𝑥1,f(𝑥1))做曲线y=f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标𝑥2=𝑥1-f(𝑥1)𝑓,(𝑥1)，称𝑥2为r的近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中𝑥𝑛+1=𝑥𝑛-𝑓(𝑥𝑛)𝑓,𝑥𝑛称为r的n+1次近似值。上式则称为牛顿迭代公式。用牛顿迭代法解非线性方程它是把非线性方程f(x)=0线性化的一种近似方法。把f(x)在点𝑥0的某邻域内展开成泰勒级数f(x)=f(𝑥0)+𝑓,(𝑥0)(x-𝑥0)+𝑓,,(𝑥0)(x−𝑥0)22!+...+𝑓(𝑛)(𝑥0)(x−𝑥0)𝑛𝑛!+𝑅𝑛(x)取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即f(𝑥0)+𝑓,(𝑥0)(x-𝑥0)=0，以此作为非线性方程式f(x)≠0，则其解为𝑥1=𝑥0-f(𝑥0)𝑓,(𝑥0)，这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式：𝑥𝑛+1=𝑥𝑛-𝑓(𝑥𝑛)𝑓,𝑥𝑛。已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个区域内，那么牛顿法补丁收敛。并且，如果不为0，那么牛顿法将具有平方收敛的性能。粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。军人在进攻时，常采用交替掩护进攻的方式，若在数轴上的点表示A,B两人的位置，规定在前面的数大于后面的数，则是AB，BA交替出现。但现在假设军中有一个胆小鬼，同时大家又都很照顾他，每次冲锋都是让他跟在后面，每当前面的人占据一个新的位置，就把位置交给他，然后其他人再往前占领新的位置。也就是A始终在B的前面，A向前迈进，B跟上，A把前进占领新的位置交给B（即执行B=A），然后A再前进占领新的位置，B再跟上，知道占领所有的阵地，前进结束。像这种两个数一前一后逐步向某个位置逼近的方法称为迭代法。迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的就是直接法（或称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出他的一个新值。利用迭代法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代变量在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接的不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量；二、建立迭代关系式所谓的迭代关系式，指如何从变量的前一个值递推出其下一个值得公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。三、对迭代过程进行控制在什么时候结束迭代过程？这时编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止的执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。欧几里德算法（辗转相除法）最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：定理：gcd(a,b)=gcd(b,amodb)证明：a可以表示成a=kb+r,则r=amodb.假设d是a,b的一个公约数，则有a%d==0,b%d==0,而r=a-kb,因此r%d==0,因此d是(b,amodb)的公约数同理，假设d是(b,amodb)的公约数，则b%d==0,r%d==0，但是a=kb+r，因此d也是(a,b)的公约数；因此(a,b)和(b,amodb)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。C语言代码doublefunc(doublex)//函数{returnx*x*x*x-3*x*x*x+1.5*x*x-4.0;}doublefunc1(doublex)//导函数{return4*x*x*x-9*x*x+3*x;}intNewton(double*x,doubleprecision,intmaxcyc)//迭代次数{doublex1,x0;intk;x0=*x;for(k=0;kmaxcyc;k++){if(func1(x0)==0.0)//若通过初值，函数返回值为0{printf（“迭代过程中导数为0!\n”）;return0;}x1=x0-func(x0)/func1(x0);//进行牛顿迭代计算if（fabs(x1-x0)precision||fabs(func(x1)precision)//达到结束条件{*x=x1;//返回结果return1;}else//未达到结束条件x0=x1;//准备下一次迭代}printf(“迭代次数超过预期！\n”);//迭代次数达到，仍没有达到精度return0;}intmain(){doublex,precision;intmaxcyc;printf(“输入初始迭代值x0”);scanf(“%lf”,&x);printf(“迭代要求的精度”);scanf(“%lf”,&precision);if(Newton(&x,precision,maxcyc)==1)//若函数返回值为1printf(“该值附近的根为：%lf\n”,x);else//若函数返回值为0printf(“迭代失败!\n”);getch();return0;}-600-400-2000200400600800-6-4-20246yy